Biografias e Curiosidades: ohm

Georg Simon Ohm

Georg Simon Ohm. Nasceu em Erlangen, a 16 de Março de 1789, e, faleceu em Munique, a 6 de Julho de 1854. Georg simon Ohm foi um físico e matemático alemão. Irmão do matemático Martin Ohm. Em 1817, Ohm foi professor de matemática no colégio jesuíta de Colônia e na "Escola Politécnica Municipal" de Nuremberga (hoje em dia Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg) de 1833 a 1849. Em 1852 tornou-se professor de física experimental na Universidade de Munique, na cidade onde viria a falecer. Entre 1826 e 1827, Ohm desenvolveu a primeira teoria matemática da condução eléctrica nos circuitos, baseando-se no estudo da condução do calor de Fourier e fabricando os fios metálicos de diferentes comprimentos e diâmetros usados nos seus estudos da condução eléctrica. Este seu trabalho não recebeu o merecido reconhecimento na sua época, tendo a famosa Lei de Ohm permanecido desconhecida até 1841 quando recebeu a medalha Copley da Royal britânica. Até essa data os empregos que teve em Colónia e Nuremberga não eram permanentes não lhe permitindo manter um nível de vida médio. Só depois de 1852, dois anos antes de morrer, conseguiu uma posição estável como professor de física na Universidade de Munique.

Vida na infância

Georg Ohm

Georg Simon Ohm veio de uma família protestante. O seu pai, Johann Wolfgang Ohm, era serralheiro enquanto a sua mãe, Maria Elizabeth Beck, era filha de um alfaiate. Embora os seus pais não tivessem sido formalmente educados, o seu pai era um autodidata, cujo elevado grau de conhecimentos lhe permitiu dar uma excelente educação aos filhos. Das sete crianças filhas de Johann e Maria Ohm só três sobreviveram, Georg Simon, o seu irmão Martin que se tornou um famoso matemático, e a sua irmã Elizabeth Barbara. Quando eles eram crianças, Georg Simon e Martin foram ensinados pelo seu pai. Ele ensinou matemática, física, química e filosofia. Isto estava totalmente em contraste com a sua educação escolar. Georg Simon entrou no Ginásio de Erlangen aos 11 anos, mas lá ele aprendeu pouco o treino científico. De facto esta parte formal de seu estudo não o inspirava, pois aprendia maquinalmente e através da interpretação de textos. Isto contrastou fortemente com a instrução inspirada que Georg Simon e Martin receberam do seu pai que os ensinou tão bem matemática que fez com que o professor da Universidade de Erlangen, Karl Christian von Langsdorf, a os comparar com a família Bernoulli. É novamente notável a realização de Johann Wolfgang Ohm, um homem completamente autodidata, ter podido dar aos seus filhos tal educação na matemática e ciência.

Vida universitária

Em 1805 Ohm entrou na Universidade de Erlangen, mas ele não levava uma vida normal de estudante. Em lugar de se concentrar nos seus estudos ele gastava muito tempo a dançar, a patinar no gelo e a jogar bilhar. O pai de Ohm, decepcionado com o seu filho que estava a desperdiçar a oportunidade educacional que ele nunca tinha sido afortunado o bastante para experimentar, exigiu que Ohm saísse da universidade depois de três semestres. Ohm foi para a Suíça onde, em Setembro de 1806, ele recebeu um posto de professor de matemática na escola do mosteiro Gottstadt no vilarejo Orpund. Karl Christian von Langsdorf (amigo de Ohm) deixou a Universidade de Erlangen-Nuremberga no início de 1809 para ocupar um lugar na Universidade de Heidelberg e Ohm teria gostado de ter ido com ele para Heidelberg reiniciar os seus estudos matemáticos. Porém, Langsdorf aconselhou Ohm a continuar com os seus estudos de matemática por si próprio, aconselhando Ohm a ler os trabalhos de Euler, Laplace e Lacroix. Bastante relutantemente Ohm acatou o seu conselho, mas deixou a vaga de professor no mosteiro Gottstadt em Março de 1809 para se tornar um professor particular em Neuchâtel. Durante dois anos ele levou a cabo os seus deveres como um tutor enquanto seguia o conselho de Langsdorf e continuou o seu estudo de matemática

Carreira de professor

Memorial de Ohm (por Wilhelm von Rümann) na Technical University of Munich, Campus Theresienstrasse. (Imagem: Cholo Aleman).

Tornou-se um professor particular e em 1811 voltou à Universidade de Erlangen-Nuremberga, onde conseguiu doutorar-se apresentando um trabalho sobre luzes e cores. Continuou como livre-docente na Universidade de Erlangen-Nuremberga até 1812, quando passou a trabalhar como professor secundário de Física e Matemática em Bamberg, Colônia e depois Berlim. Em 1813 aceitou um lugar de professor numa modesta escola, pois o lugar que ocupava em Erlangen era mal remunerado. Como aspirava a uma posição de professor universitário, continuou a realizar trabalhos de pesquisa originais, dedicando-se à área de Electricidade. Entretanto começou a escrever um livro de iniciação à geometria. A escola acabaria por fechar e Ohm aceitou lugar noutra escola em 1816. No ano seguinte (1817) conseguiu finalmente lugar numa escola melhor em Colónia. Aqui continuou o seu esforço autodidático no estudo da matemática e começou a realizar experiências no laboratório de física da escola. Com a descoberta da pilha por Alessandro Volta, em 1800, revelando a corrente elétrica e a resistência elétrica, tornou-se necessário medir essas grandezas e outras, situação que interessou a André-Marie Ampère, Ohm, James Prescott Pouillet Joule, Michael Faraday e Gustav Kirchhoff, cujos trabalhos permitiram a construção de equipamento como o amperímetro e o voltímetro. Como Ohm ambicionava tornar-se professor universitário, começou a publicar os resultados das suas experiências e estudos. Em 1825 e 1827 concluiu que a intensidade da corrente eléctrica num condutor diminuía com o aumento do comprimento e aumentava com o aumento da seção, o que está relacionado com o que hoje chamamos de resistência do condutor e desenvolveu a primeira teoria matemática da condução eléctrica nos circuitos, baseando-se no estudo da condução do calor de Fourier e fabricando os fios metálicos de diferentes comprimentos e diâmetros usados nos seus estudos da condução eléctrica. Este seu trabalho não recebeu o merecido reconhecimento na sua época, tendo a famosa Lei de Ohm permanecido desconhecida até 1841 quando recebeu a medalha Copley da Royal britânica. Até essa data os empregos que teve em Colônia e Nuremberga não eram permanentes, não lhe permitindo manter um nível de vida médio. Em 1826 e 1827, ainda professor de matemática em Colónia, determinou a relação matemática entre o que chamava de "fluxo eléctrico" (intensidade da corrente eléctrica) num circuito voltaico e a "potência condutora" da pilha, estabelecendo assim a chamada lei de Ohm, ou lei básica da Electricidade, que relaciona a tensão eléctrica, a intensidade de corrente eléctrica e a resistência eléctrica, concluindo que a intensidade é directamente proporcional à tensão e inversamente proporcional à resistência. Os conceitos desenvolvidos por Ohm encontram-se explicados no seu livro "Die galvanische Kette mathematisch bearbeitet" ("A corrente galvânica matemáticamente"), publicado em 1827. A explicação científica de Ohm para justificar a sua lei foi muito mal recebida pelo ministro prussiano da educação que achou que “um professor que proferia tais heresias era incapaz para ensinar matérias científicas”. Ohm abandonou o seu lugar e ao fim de seis anos de grandes dificuldades, saiu da Prússia para a Baviera onde começou a leccionar na Escola Politécnica de Nuremberga. Apesar da relevância dos seus estudos, suas conclusões e formulações receberam críticas negativas, e Ohm não conseguiu um cargo universitário, quando se tornou professor da "Real Escola Politécnica de Nürnberg", Baviera, passando a ser seu director em 1839. Em 1841 recebeu a Medalha Copley (o equivalente de então ao atual Prêmio Nobel) da inglesa Royal Society, de que se tornou membro estrangeiro no ano seguinte. Ainda em 1841 tornara-se também membro da Academia de Turim. Em 1845 tornou-se membro efectivo da Academia da Baviera.

Homenagem a Ohm

Em 1849 conseguiu o seu sonho, tornou-se professor da Universidade de Munique, mas só em 1852 conseguiu a desejada cadeira de física. O seu objetivo de toda uma vida foi atingido, mas durou apenas dois anos. Morreu no dia 6 de Julho de 1854 em Munique, com 65 anos. O seu nome foi dado à unidade de resistência elétrica no Sistema Internacional de unidades por decisão do Congresso Mundial Eléctrico reunido, em Chicago, em 1893. Em 1933, ano do Centenário da entrada de Ohm no Instituto Politécnico da Baviera, este passou a designar-se “Instituto Politécnico Ohm de Nuremberga”. Em 1983 foi dado, pelo Parlamento da Baviera, o nome de "Escola Superior Georg Simon Ohm de Nuremberga" (Fachhochschule Georg-Simon-Ohm Nürnberg) ao Instituto Politécnico construído em 1971. Ainda como homenagem, existe uma cratera na Lua denominada Cratera Ohm.

Ohm

Um multímetro pode ser usado para medir a resistência em ohms. Ele também pode ser usado para medir a tensão, corrente e outras características eléctricas.

O ohm (símbolo: Ω) é a unidade de medida da resistência elétrica, padronizada pelo SI (Sistema Internacional de Unidades). Corresponde à relação entre a tensão de um volt e uma corrente de um ampère sobre um elemento, seja ele um condutor ou isolante. Ou melhor, um condutor que tenha uma resistência elétrica de 1 ohm, causará uma queda de tensão de 1 volt a cada 1 ampère de corrente que passar por ele. O ohm é simbolizado pela letra grega ômega maiúsculo (Ω) e seus múltiplos mais usados são o quilo-ohm (kΩ) = 1.000 Ω; e o megaohm ou "megohm" (MΩ) = 1.000.000 Ω. O nome desta unidade é uma homenagem a Georg Simon Ohm (1787-1854), que descobriu relações matemáticas extremamente simples envolvendo as dimensões dos condutores e as grandezas elétricas, definindo o conceito de resistência elétrica e formulando o que passou a ser chamada Lei de Ohm.

Lei de Ohm

A diferença de potencial, V, dividido pela corrente eléctrica, I , é resistência do resistor, R, que é denominada de Lei de Ohm: V = IR

A Lei de Ohm, assim designada em homenagem ao seu formulador, o físico alemão Georg Simon Ohm (1787-1854), afirma que, para um condutor mantido à temperatura constante, a razão entre a tensão entre dois pontos e a corrente elétrica é constante. Essa constante é denominada de resistência elétrica.

Primeira lei de Ohm

Quando essa lei é verdadeira num determinado condutor mantido à temperatura constante, este denomina-se condutor ôhmico. A resistência de um dispositivo condutor é dada pela fórmula:

$R = \frac {V} {I}$

onde:

é a diferença de potencial elétrico (ou tensão, ou ddp) medida em volt (V);

é a intensidade da corrente elétrica medida em ampère (A) e

é a resistência elétrica medida em ohm (Ω).

Essa expressão não depende da natureza de tal condutor: ela é válida para todos os condutores. Para um dispositivo condutor que obedeça à lei de Ohm, a diferença de potencial aplicada é proporcional à corrente elétrica, isto é, a resistência é independente da diferença de potencial e da corrente. Um dispositivo muito utilizado em aparelhos eletrônicos, como rádios, televisores e amplificadores, que obedece à essa lei é o resistor, cuja função é controlar a intensidade de corrente elétrica que passa pelo aparelho. Entretanto, para alguns materiais, por exemplo os semicondutores, a resistência elétrica não é constante, mesmo que a temperatura seja, ela depende da diferença de potencial

. Estes são denominados condutores não ôhmicos. Um exemplo de componente eletrônico que não obedece à lei de Ohm é o diodo.

Interpretação da resistência elétrica

A resistência elétrica pode ser entendida como a dificuldade de se estabelecer uma corrente elétrica num determinado condutor. Por exemplo, um fio de nicromo precisa ser submetido à uma diferença de potencial de 300V para que seja estabelecida uma corrente de 1A, enquanto um fio de tungstênio precisa ser submetido à apenas 15V para que nele se estabeleça a mesma corrente. Isto significa que a resistência elétrica do nicromo é maior do que a do tungstênio:

$R_{nicromo} = \frac{300\textrm{V}}{1\textrm{A}} = 300\Omega$

$R_{tungstenio} = \frac{15\text{V}}{1\text{A}} = 15\Omega$

Segunda lei de Ohm

A segunda lei de Ohm diz que a resistência elétrica de um condutor homogêneo e de seção transversal constante é proporcional ao seu comprimento

, inversamente proporcional à sua área transversal

e depende da temperatura e do material de que é feito o condutor:3

$R = \frac{\rho\,l}{A}$

A grandeza $\rho$ chama-se resistividade elétrica e é característica do material e da temperatura. Sua unidade de medida é o ohm-metro ( $\Omega$ m). Ela é inversamente proporcional condutividade elétrica $\left(\rho = 1/\sigma\right)$ .

Formulação microscópica

Em um condutor metálico isolado, os elétrons estão num estado de movimento aleatório, não apresentando deslocamente preferencial, em média, em nenhuma direção. Se este condutor tem seus terminais ligados aos de uma bateria, um campo elétrico $\mathbf{E}$ é criado em todos os pontos no interior do condutor e atua sobre os elétrons de forma a produzir um movimento de arrasto, que é a corrente elétrica. Em condutores ôhmicos, o vetor densidade de corrente elétrica $\mathbf{J}$ , cujo módulo é igual à corrente elétrica dividida pela área de seção transversal,

(quando a corrente é uniformemente distribuída pelo condutor), é proporcional ao campo elétrico $\mathbf{E}$ . O fator de proporcionalidade entre a densidade de corrente e o campo elétrico é a condutividade elétrica $\sigma$ :

$\mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E}$

Esta é a relação microscópica equivalente à relação macroscópica $V = R\,I$ . Pode-se dizer também que um material condutor obedece à lei de Ohm se a condutividade $\sigma$ for independente de $\mathbf{E}$ e de $\mathbf{J}$ .

A unidade de medida da condutividade é o siemens por metro (S/m). Materiais que conduzem melhor a corrente elétrica são aqueles que possuem os valores mais altos de $\sigma$ . A prata, o cobre e o alumínio, por exemplo, são bons condutores, enquanto a mica e o vidro são maus condutores.

A relação macroscópica da lei de Ohm a partir da relação microscópica

Fio de comprimento l e área transversal a percorrido por uma corrente elétrica I na presença de um campo elétrico E.

A relação macroscópica

pode ser obtida da relação microscópica

a partir do seguinte exemplo.

Considere um segmento de fio condutor de comprimento

e seção reta

, com uma corrente

. Para que o campo elétrico não varie apreciavelmente, o segmento do fio deve ser muito pequeno. Sendo o campo elétrico dirigido da esquerda para a direita, o potencial é mais baixo neste lado do que no outro, de forma que se tem

$V = {V_e} - {V_d} = E\,l$

onde

é o módulo do campo elétrico. A corrente no condutor é igual ao produto da densidade de corrente pela área de seção reta:

$I = J\,A = \sigma\,E\,A = \sigma\,A \frac{V}{l}$

onde usou-se a lei de Ohm na forma microscópica na passagem anterior. Sendo assim,

$V = \frac{l}{\sigma\,A}I$

substituindo $\sigma$ por $1/\rho$ , obtém-se

$V = \left(\frac{\rho\,l}{A}\right)I$

A expressão entre parênteses pode ser definida como

$R \equiv \rho\,\frac{l}{A}$

e, então, obtém-se a relação

$V = R\,I$

Variação da resistividade com a temperatura

Nos metais, os elétrons da última camada eletrônica estão fracamente ligados a átomos individuais, podendo mover-se livremente. Quando a temperatura aumenta, a amplitude do movimento dos íons da rede cristalina também aumenta, o que dificulta a locomoção dos elétrons livres. Em outras palavras, isto quer dizer que a resistividade aumenta com a temperatura. Para uma ampla gama de substâncias, esse aumento é linear, dentro de uma larga faixa de temperaturas. Isto pode ser descrito pela seguinte equação:

$\rho = \rho_{0}[{1} + {\alpha \,(T - T_{0})}]$

onde:

$\rho$ é a resistividade à temperatura

$\rho_{0}$ é a resistividade à temperatura $T_{0}$ e

$\alpha$ é o coeficiente de temperatura da resistividade e é positivo para os metais.

Nos semicondutores a resistividade diminui com o aumento da temperatura. Isto acontece, porque as flutuações térmicas a altas temperaturas provocam a promoção de elétrons ligados a transportadores de carga livres.

A resistividade de alguns condutores desaparece bruscamente abaixo de uma temperatura crítica, quando estes são resfriados, podendo manter uma corrente por muito tempo sem necessidade do uso de baterias. Esse fenômeno é chamado de supercondutividade e foi divulgado pela primeira vez em 1911 pelo físico holandês Heike Kamerlingh Onnes.

Modelo microscópico clássico para a condutividade elétrica de metais

Em um metal, os elétrons que não estão presos aos átomos e podem movimentar-se livremente são chamados elétrons de condução 4 . Classicamente, a velocidade quadrática média de agitação térmica dos elétrons à temperatura

pode ser estimada via Teorema da equipartição:

$\frac{1}{2}m\bar{v^2} = \frac{3}{2}\,k\,T$

$\sqrt{\bar{v^2}} = \sqrt{\frac{3\,k\,T}{m}} = \sqrt{\frac{3\times ( 1,38\times 10^{-23})\times 300}{9,1\times 10^{-31}}} \textrm{m/s}$

Ou seja,

$v_{qm} \equiv \sqrt{\bar{v^2}} \simeq 1,17\times 10^5 \textrm{ m/s}$

Nesta equação

$\bar{v^2}$ é o valor médio do quadrado da velocidade dos elétrons devido a agitação térmica,

é a massa do elétron e

é a constante de Boltzmann.

Na ausência de um campo elétrico externo, o movimento dos elétrons no metal é caótico e o valor da velocidade de agitação térmica obtido mostra que esse movimento é muito rápido. Entretanto, se um campo elétrico externo constante é aplicado, os elétrons passam a se deslocar, em velocidade muitíssimo pequena, na direção oposta a do campo, devido à sua carga negativa. Consequentemente, eles experimentam uma aceleração $\mathbf{a}$ devido à força elétrica $\mathbf{F} = -e\,\mathbf{E}$ , onde

é a carga do elétron em módulo. De acordo com a segunda lei de Newton,

$m\mathbf{a} = -e\,\mathbf{E}$

$\mathbf{a} = -e\,\frac{\mathbf{E}}{m}$

onde

$\mathbf{a}$ é a aceleração do elétron.

À primeira vista, parece que, como as cargas estão sendo aceleradas, a corrente está aumentando com o tempo, e a lei de Ohm afirma que um campo elétrico constante produz uma corrente constante, o que implica uma velocidade constante. Isto parece contradizer o argumento anterior.

Entretanto, as frequentes colisões dos elétrons que acontecem ao longo do fio fazem com que eles sofram desaceleração. Desta forma, mesmo que eles estejam se acelerando entre as colisões, o resultado global é uma velocidade média constante. Após uma colisão, essa velocidade varia em média de $a\lambda/v_{qm}$ , em que $\lambda/v_{qm}$ é o tempo médio entre duas colisões, representado por $\bar{\tau}$ e $\lambda$ é a distância média percorrida pelo elétron entre duas colisões, conhecida como livre caminho médio.

O valor médio da velocidade devida a ação do campo elétrico será dada, então, por

$\mathbf{\bar{v}} = \mathbf{a}\,\left(\frac{\lambda}{v_{qm}}\right) = -\frac{e\,\mathbf{E}\,\lambda}{m\,v_{qm}}$

A velocidade $\mathbf{\bar{v}}$ pode ser expressa em termos da densidade de corrente elétrica $\mathbf{J}$ :

$\mathbf{\bar{v}} = -\frac{\mathbf{J}}{n\,e}$

onde

é o número de elétrons livres por unidade de volume e o sinal de menos é devido ao fato de que as cargas em movimento são negativas. Igualando este resultado ao anterior, obtém-se

$\mathbf{\bar{v}} = -\frac{\mathbf{J}}{n\,e} = \frac{e\,\mathbf{E}\,\lambda}{mv_{qm}}$

$\mathbf{J} = \left(\frac{n\,e^{2}\,\lambda}{m\,v_{qm}}\right)\mathbf{E},$

em que vê-se que a densidade de corrente induzida $\mathbf{J}$ é proporcional ao campo elétrico $\mathbf{E}$ , assim como na lei de Ohm. Entretanto, não se pode afirmar que a quantidade $\frac{n\,e^{2}\,\lambda}{m\,v_{qm}}$ seja um bom modelo para a condutividade elétrica de metais, já que a dedução apresentada aqui foi baseada em argumentos puramente clássicos. Por exemplo, experiências mostram que a altas temperaturas, a resistividade elétrica desses materiais varia linearmente com a temperatura e o modelo aqui apresentado implica numa variação proporcional a $\sqrt{T}$ devido ao termo $v_{qm}$ no denominador da expressão anterior. Ainda assim, o modelo clássico de movimento de arrasto na presença de campo elétrico superposto ao movimento aleatório térmico devido a colisões com átomos do material, conhecido como modelo de Drude, apresenta os ingredientes básicos que definem a condutividade. Um tratamento adequado para o problema da condutividade elétrica em metais é dado pela Mecânica Quântica.

Potência dissipada num resistor

Quando um resistor é percorrido por uma corrente elétrica

, devida a uma tensão

fornecida por uma fonte de energia, ele se aquece. Esse aquecimento, chamado de efeito Joule, é resultado da transformação da energia que vem da fonte em energia térmica no resistor. A energia transformada em calor por unidade de tempo é a potência dissipada e é calculada pela equação

$P = V\,I$

A unidade de medida da potência é o watt (W).

Usando $V = I\,R$ , obtém-se

$P = I^{2}\,R$

Outra relação envolvendo potência e resistência elétrica também pode ser obtida usando $I = \frac{V}{R}$ :

$P = \frac{V^2}{R}$

Por terem essa finalidade de transformar energia elétrica em energia térmica, os resistores também estão presentes nos aquecedores elétricos de ambiente, nos chuveiros elétricos, nos ferros elétricos de passar roupa, nos soldadores elétricos etc.