Biografia de Johannes Kepler

Johannes Kepler

Johannes Kepler. Astrônomo alemão. Nasceu em Weil der Stadt, a 27 de Dezembro de 1571, e, faleceu em Ratisbona, a 15 de Novembro de 1630. Considerado um dos criadores da moderna Astronomia. Filho de um estalajadeiro, Kepler foi admitido gratuitamente nos seminários de Adelberg, Maulbrunn e Tubingue: foi expulso desta última escola por causa de suas opiniões pouco ortodoxas. Seguindo depois os cursos de Matemática na Universidade, aos 22 anos de idade foi nomeado lente dessa matéria em Gratz, na Estíria. Em 1599, deixou Gratz, forçado pelas perseguições religiosas, dirigindo-se a Praga, onde ocupou o cargo de colaborador do astrônomo Tycho Brahe, para auxiliá-lo nas Tábuas Rodolfinas (por alusão ao Imperador Rodolfo II). Morrendo Tycho Brahe em 1601, sucedeu-lhe no cargo de astrônomo do imperador. Publicou em 1609, depois de inúmeras obras com que firmara o seu prestígio científico, o livro que o imortalizaria: Astronomia Nova seu Physica Coelestis Tradita Comentariis de Motibus Stellal Martis (Astronomia Nova sobre os Movimentos do Planeta Marte), em que enunciou as três leis que têm o seu nome. Em 1604, publicara Astronomiae Pars Optica, em que enunciou a lei segundo a qual “a luz que uma superfície, orientada na direção de propagação da mesma, recebe, é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre a referida superfície e a fonte luminosa”. Após a morte do imperador foi para Linz, onde publicou De Harmonice Mundi (Da Harmonia do Mundo), em 1619, relacionando o movimento dos planetas. Baseado nestes estudos, Kepler construiu as suas Tábuas Rodolfinas, dadas à estampa em 1627. Comenta um dos seus biógrafos: “A vida de Kepler foi uma série de infortúnios de toda a espécie. Casado com uma mulher caprichosa, que inclusive era epilética e mais tarde enlouqueceu, casou-se pela segunda vez e encheu-se de filhos. Em 1611, foi obrigado a pedir a Duque da Baviera perdão para a mãe, condenada a morrer queimada, sob a acusação de práticas de feitiçaria. O imperador lhe tinha estipulado uma pensão, que ele, entretanto, raramente recebia: chegou a passar fome, e, não obstante, persistia nos seus estudos. Morreu durante uma das freqüentes jornadas que fazia para receber seus ordenados atrasados”.

Kepler e sua primeira esposa Barbara Müller (à esquerda).

Kepler foi um astrônomo, matemático e astrólogo alemão e figura-chave da revolução científica do século XVII. É mais conhecido por ter formulado as três leis fundamentais da mecânica celeste, conhecidas como Leis de Kepler, codificadas por astrônomos posteriores com base em suas obras Astronomia Nova, Harmonices Mundi, e Epítome da Astronomia de Copérnico. Essas obras também forneceram uma das bases para a teoria da gravitação universal de Isaac Newton. Durante sua carreira, Kepler foi professor de matemática em uma escola seminarista em Graz, Áustria, um assistente do astrônomo Tycho Brahe, o matemático imperial do imperador Rodolfo II e de seus dois sucessores, Matias I e Fernando II. Também foi professor de matemática em Linz, Áustria, e conselheiro do general Albrecht von Wallenstein. Adicionalmente, fez um trabalho fundamental no campo da óptica, inventou uma versão melhorada do telescópio refrator (o telescópio de Kepler) e ajudou a legitimar as descobertas telescópicas de seu contemporâneo Galileu Galilei. Kepler viveu numa época em que não havia nenhuma distinção clara entre astronomia e astrologia, mas havia uma forte divisão entre a astronomia (um ramo da matemática dentro das artes liberais) e a física (um ramo da filosofia natural). Kepler também incorporou raciocínios e argumentos religiosos em seu trabalho, motivado pela convicção religiosa de que Deus havia criado o mundo de acordo com um plano inteligível, acessível através da luz natural da razão. Kepler descreveu sua nova astronomia como "física celeste", como "uma excursão à Metafísica de Aristóteles" e como "um suplemento de Sobre o Céu de Aristóteles", transformando a antiga tradição da cosmologia física ao tratar a astronomia como parte de uma física matemática universal.

Vida e obra de Kepler

Modelo do Sistema solar de Kepler.

Em defesa da astrologia, publicou a obra Tercius Interveniens, onde criticava aqueles que atacavam a astrologia pelo seu viés supersticioso e não a distinguiam da astrologia como cosmologia. É importante notar que Kepler defendia a astrologia como cosmologia, como explicação do modo como se processam as relações entre astros e acontecimentos terrenos, dentro do âmbito da atuação divina. É clara sua crítica tanto aos céticos quanto aos supersticiosos. Vale lembrar que naquela época a astronomia e astrologia não eram distintas, pelo contrário, um astrônomo era necessariamente um astrólogo, e aconselhar reis e imperadores em questões astrológicas fazia parte das atribuições de qualquer astrônomo. O interessante da obra de Kepler é justamente ele ter feito a transição da superstição à ciência. Ele se desfez dos epiciclos, equantes e outros artifícios matemáticos criados no tempo de Ptolomeu - e mantidos por Nicolau Copérnico - para enquadrar as órbitas celestes ao modelo aristotélico das esferas de cristal. Segundo Aristóteles, os céus eram divinamente perfeitos, e os corpos celestes só podiam se mover segundo a mais perfeita das formas: o círculo. Kepler, usando dados coletados por Tycho Brahe (as oposições de Marte entre 1580 e 1600), mostrou que os planetas não se moviam em órbitas circulares, mas sim elípticas. Esse detalhe, somente perceptível por acuradas medições, deu a Isaac Newton elementos para formular a teoria da gravitação universal, cinquenta anos mais tarde. Newton viria a declarar: "Se enxerguei longe, foi porque me apoiei nos ombros de gigantes". Não declara exatamente quem seriam esses gigantes, mas Kepler certamente era um deles. Johannes Kepler estudou inicialmente para seguir carreira teológica. Na Universidade, ele leu sobre os princípios de Copérnico

Tycho Brahe

(proeminente cônego católico) e logo se tornou um entusiástico defensor do heliocentrismo. Em 1594 conseguiu um posto de professor de matemática e astronomia em uma escola secundária em Graz, na Áustria, mas poucos anos depois, por pressões da Igreja Católica (Kepler era protestante), foi exilado, e foi então para Praga trabalhar com Tycho Brahe. Quando Tycho morreu, Kepler herdou seu posto e seus dados, a cujo estudo se dedicou pelos vinte anos seguintes. O planeta para o qual havia o maior número de dados era Marte. Kepler conseguiu determinar as diferentes posições da Terra após cada período sideral de Marte, e assim conseguiu traçar a órbita da Terra. Descobriu que essa órbita era muito bem descrita por um círculo excêntrico, isto é, com o Sol um pouco afastado do centro. Kepler conseguiu também determinar a órbita de Marte, mas ao tentar ajustá-la com um círculo não teve sucesso. Ele continuou insistindo nessa tentativa por vários anos, e em certo ponto encontrou uma órbita circular que concordava com as observações com um erro de oito minutos de arco. Mas sabendo que as observações de Tycho não poderiam ter um erro desse tamanho (apesar disso significar um erro de apenas 1/4 do tamanho do Sol), Kepler descartou essa possibilidade. Finalmente, passou à tentativa de representar a órbita de Marte com uma oval, e rapidamente descobriu que uma elipse ajustava muito bem os dados. A posição do Sol coincidia com um dos focos da elipse. Ficou assim explicada também a trajetória quase circular da Terra, com o Sol afastado do centro.

Astronomia Nova

Capa da obra de Johannes Kepler Astronomia Nova (1609).

Astronomia Nova é o título de um livro escrito por Johannes Kepler e publicado em 1609, no qual aparecem os resultados das suas investigações de mais de dez anos sobre o movimento dos planetas e em particular sobre o movimento aparente de Marte. Neste livro apresentam-se as duas primeiras leis de Kepler do movimento planetário. O livro, de conteúdo matemático, baseia-se nas observações do astrônomo dinamarquês Tycho Brahe. Está estruturado em cinco partes, nas quais se discutem os modelos planetários propostos até então: o modelo geocêntrico ptolomaico, o modelo heliocêntrico copernicano e o modelo intermédio proposto por Tycho Brahe, e mostra a necessidade de dados precisos sobre o movimento planetário para se poder fazer a distinção entre estes modelos. Também discute como a órbita de Marte só se pode ajustar-se a uma forma elíptica com o Sol em um de seus focos, estabelecendo finalmente a primeira e segunda lei de Kepler. A terceira lei de Kepler seria apresentada na sua obra Harmonices Mundi, em 1619.

Harmonices Mundi

Primeira edição de 1619.

Harmonices Mundi (em latim: Harmonia do Mundo) é um livro publicado em 1619 por Johannes Kepler. No trabalho, Kepler discute a harmonia e a congruência das formas geométricas e dos fenômenos físicos. A última seção do livro relata sua descoberta da então chamada "Terceira Lei" do movimento planetário. Kepler divide o Harmonia do Mundo em cinco longos capítulos: o primeiro fala de polígonos regulares; o segundo da congruência de figuras; o terceiro da origem das proporções harmônicas na música; o quarto das configurações harmônicas da astrologia; e o quinto da harmonia dos movimentos dos planetas. Enquanto filósofos medievais falavam metaforicamente da "música das esferas", Kepler descobriu harmonias físicas no movimento planetário. Ele encontrou que a diferença entre as velocidades angulares máxima e mínima de um planeta em sua órbita se aproximam de uma proporção harmônica. Por exemplo, a velocidade angular máxima da Terra medida do Sol varia em um semitom (proporção de 16:15), de mi para fá, em seu apoastro. Vênus varia muito pouco, 25:24 (em termos musicais, uma diese).

Poliedros de Kepler-Poinsot

Um poliedro de Kepler-Poinsot é um poliedro regular não convexo. Todas as suas faces são polígonos regulares iguais. E em todos os vértices encontram-se o mesmo número de faces (comparar com sólidos platônicos).

Tabela

Existem quatro Poliedros de Kepler-Poinsot, os quais estão listados a seguir:

Poliedro de Kepler-Poinsot	Imagem	Faces	Vértices	Arestas
Pequeno dodecaedro estrelado		12 pentagramas regulares	12	30
Grande dodecaedro estrelado		12 pentagramas regulares	20	30
Grande dodecaedro		12 pentágonos regulares	12	30
Icosaedro estrelado		20 triângulos equiláteros	12	30

História

Johannes Kepler, em 1619, descobriu dois poliedros que são simultaneamente regulares e não convexos - o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro estrelado. Dois séculos mais tarde provar-se-ia que existem apenas nove poliedros regulares: os cinco sólidos platônicos e quatro poliedros regulares não convexos - os poliedros de Kepler-Poinsot.

Equação de Kepler

Em mecânica celeste, a Equação de Kepler, que tem esse nome devido a Johannes Kepler, transforma a anomalia excêntrica em anomalia média. Ela é inversível (mas não por meios elementares), o que permite passar da anomalia média para a anomalia excêntrica. Esta equação relaciona informações geométricas (a anomalia excêntrica e a excentricidade orbital) com informações dinâmicas (a anomalia média).

A sua expressão é:

em que:

M é a anomalia média

E é a anomalia excêntrica

e é a excentricidade orbital

Seu uso mais comum é, a partir de Me e, resolver E. Esta é uma equação transcendente, ou seja, não existe uma função elementar que resolva , porém existem métodos que resolvem por aproximações.

 

Citações de Kepler

• 

  Busto de Kepler [Regensburg]

  “Quanto mais o homem avança na penetração dos segredos da natureza, melhor se desvenda a universalidade do plano eterno”.
• “Os céus contemplam a glória de Deus”.
• “Não nos perguntamos qual o propósito útil dos pássaros cantarem, pois o canto é o seu prazer, uma vez que foram criados para cantar. Similarmente, não devemos perguntar por que a mente humana se inquieta com a extensão dos segredos dos céus… A diversidade do fenômeno da Natureza é tão vasta e os tesouros escondidos nos céus tão ricos, precisamente para que a mente humana nunca tenha falta de alimento”.
• “São grandes as vantagens industriais derivadas do princípio econômico da divisão do trabalho, porém, por causa disso, privou-se o trabalho do homem de alma e de vida”.

• “...A Geometria existiu e existe desde antes da Criação. É co-eterna com a mente de Deus... A Geometria forneceu a Deus um modelo para a Criação... A Geometria é o próprio Deus...”

• “As leis da Natureza nada mais são que pensamentos matemáticos de Deus”.

- citado em "O Homem Que Calculava‎" - página 178, de Malba Tahan, Editora Allan Alvaro Jr Santos.

• “Tão logo alguém descubra a arte de voar, não faltarão humanos vivendo na Lua e em Júpiter”.

Legado cultural e histórico

Selo da República Democrática Alemã em homenagem a Kepler.

Além do seu papel no desenvolvimento histórico da astronomia e filosofia natural, Kepler foi importante para a filosofia e historiografia da ciência. Suas leis de movimentos foram centrais para algumas das primeiras histórias da astronomia tais como Histoire des Mathématiques (1758) de Jean-Étienne Montucla e Histoire de l’astronomie Moderne (1821) de Jean-Baptiste Delambre. Estas e outras histórias escritas de uma perspectiva iluminista trataram os argumentos religiosos e metafísicos de Kepler com ceticismo e desaprovação, mas depois filósofos naturais românticos perceberam estes elementos como centrais ao seu sucesso. William Whewell no seu livro History of the Inductive Sciences (1837), notou Kepler como o arquétipo do gênio científico indutivo; em Philosophy of the Inductive Sciences (1840), Whewell notou Kepler como a personificação das mais avançadas formas de método científico. Similarmente, Ernst Friedrich Apelt - o primeiro a estudar extensivamente os manuscritos de Kepler após a compra por Catarina, a Grande - identificou Kepler como a chave para a "revolução científica". Apelt que viu a matemática de Kepler, sensibilidade aética, idéias físicas e teologia como parte de um sistema unificado de pensamento, produziu a primeira extensiva análise da vida e trabalho de Kepler. Traduções modernas de vários livros de Kepler apareceram no final do século XIX e início do século XX, a publicação sistemática de sua coleção de trabalhos começou em 1937 (e está próximo de terminar no início do século XXI), e a biografia feita por Max Caspar foi publicada em 1948. Entretanto, o trabalho de Alexandre Koyré sobre Kepler foi, depois de Apelt, o primeiro marco maior nas interpretações históricas da cosmologia de Kepler e sua influência. Nas décadas de 1930 e 1940 Koyré e outros da primeira geração de profissionais historiadores da ciência, descreveram a "Revolução científica" como o evento central da história da ciência, e Kepler como um (talvez o) personagem central nesta revolução. Koyré colocou a teorização de Kepler, ao invés do seu trabalho empírico, no centro da transformação intelectual das visões antigas para as modernas. Desde a década de 1960, o volume da sabedoria histórica de Kepler se expandiu consideravelmente, incluindo estudos de sua astrologia e meteorologia, seus métodos geométricos, o papel de suas

Monumento a Tycho Brahe e Johannes Kepler em Praga, República Tcheca.

visões religiosas em seus trabalhos, seus métodos de literatura e retórica, sua interação com a cultura geral e correntes filosóficas de seu tempo, e até seu papel como um historiador da ciência. O debate sobre o lugar de Kepler na revolução científica produziu também uma grande variedade de tratamentos populares e filosóficos. Um dos mais influentes é The Sleepwalkers (1959) de Arthur Koestler, no qual Kepler é indiscutivelmente o herói (moralmente e teologicamente assim como intelectualmente) da revolução. Filósofos influentes da ciência tais como Charles Sanders Peirce, Norwood Russell Hanson, Stephen Toulmin, e Karl Popper tem repetidamente voltado a Kepler: exemplos de incomensurabilidade, raciocínio análogo, falseabilidade e muitos outros conceitos filosóficos tem sido fundados nos trabalhos de Kepler. O físico Wolfgang Pauli até usou a disputa prioritária de Kepler com Robert Fludd para explorar as implicações da psicologia analítica em investigações científicas. Um bem recebido, se irreal, romance histórico de John Banville, Kepler (1981), explorou muitos dos temas desenvolvidos na narrativa não-científica de Koestler e na filosofia da ciência. De algum modo mais fantástico é o trabalho de não-ficção, Heavenly Intrigue (2004), que sugere que Kepler assassinou Tycho Brahe para ter acesso aos seus dados. Kepler adquiriu uma imagem popular como um ícone da modernidade científica e um homem antes de seu tempo; Carl Sagandescreveu ele como “o primeiro astrofísico e o último astrólogo científico”. Na Áustria, Kepler deixou um legado histórico tal que foi um dos temas das moedas de pratas de colecionadores, que foi cunhada em 10 de Setembro de 2002. O lado reverso da moeda tem um retrato de Kepler, que passou algum tempo ensinando em Graz e áreas em torno. Kepler estava familiarizado pessoalmente com o Príncipe Hans Ulrich von Eggenberg, e provavelmente influenciou a construção do Castelo de Eggenberg (o tema do verso da moeda). Na frente dele na moeda está o o modelo de esferas alinhadas e o poliedro do Mysterium Cosmographicum. Em 2009, a NASA nomeou uma sonda espacial, a Kepler, pelas contribuições dele no campo da astronomia.

Johannes Kepler

Veja também:

Leis de Kepler

Referências

http://pt.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler

http://pt.wikiquote.org/wiki/Johannes_Kepler

http://pt.wikipedia.org/wiki/Harmonices_Mundi

http://pt.wikipedia.org/wiki/Astronomia_Nova

http://pt.wikipedia.org/wiki/Poliedros_de_Kepler-Poinsot

http://pt.wikipedia.org/wiki/Equação_de_Kepler

Leis de Kepler

Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração. (Imagem: orbital motion).

As Leis de Kepler são as três leis do movimento planetário definidas por Johannes Kepler (1571 – 1630), um matemático e astrônomo alemão. Essas leis foram a principal contribuição de Kepler à astronomia e astrofísica. Kepler estudou as observações do lendário astrônomo Tycho Brahe, e descobriu, por volta de 1605, que estas observações seguiam três leis matemáticas relativamente simples. Suas três leis do movimento planetário desafiavam a astronomia e física de Aristóteles e Ptolomeu. Sua afirmação de que a Terra se movia, seu uso de elipses em vez de epiciclos, e sua prova de que as velocidades dos planetas variavam, mudaram a astronomia e a física. Em 1596, Kepler publicou Mysterium Cosmographicum, onde expôs argumentos favoráveis às hipóteses heliocêntricas. Em 1609 publicou Astronomia Nova… De Motibus Stellae Martis, onde apresentou as três leis do movimento dos planetas, que hoje levam seu nome:

• Os planetas descrevem órbitas elípticas, com o sol num dos focos.
• O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos iguais. (lei das áreas)
• Os quadrados dos períodos de revolução (T) são proporcionais aos cubos das distâncias médias (a) do Sol aos planetas. , onde k é uma constante de proporcionalidade.

O modelo de Kepler é heliocêntrico. Seu modelo foi muito criticado pela falta de simetria decorrente do fato do Sol ocupar um dos focos da elipse e o outro simplesmente ser preenchido com o vácuo.

Primeira lei de Kepler: lei das órbitas elípticas

(Imagem: Hankwang). As leis de Kepler, com duas órbitas planetárias:
(1) As órbitas são elipses, com pontos focais ƒ₁ e ƒ₂ para o planeta 1 e ƒ₁ e ƒ₃ para o planeta 2. O sol está no ponto focal ƒ₁.
(2) Os dois setores sombreados A₁ e A₂ possuem a mesma área superficial e o tempo para o planeta 1 percorrer o segmento A₁ é igual ao tempo para percorrer o segmento A₂.
(3) A relação entre os períodos dos planetas 1 e 2 está na proporção a₁^3/2 : a₂^3/2

"O planeta em órbita em torno do Sol descreve uma elipse em que o Sol ocupa um dos focos".

Esta lei definiu que as órbitas não eram circunferências, como se supunha até então, mas sim elipses.

A distância de um dos focos (F1) até o objeto, mais a distância do objeto até o outro foco (F2), é sempre igual não importando a localização do objeto ao longo da elipse.

 

 

 

 

Segunda lei de Kepler: lei das áreas

Ilustração da segunda lei de Kepler. 
(Imagem: Original drawn by Stw using Kig and GIMP . 
SVG version drawn by Arpad Horvath by Inkscape).

"A linha que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais".

Esta lei determina que os planetas se movem com velocidades diferentes, dependendo da distância a que estão do Sol.

• Periélio é o ponto mais próximo do Sol, onde o planeta orbita mais rapidamente.
• Afélio é o ponto mais afastado do Sol, onde o planeta move-se mais lentamente.

 

Terceira lei de Kepler: lei dos períodos

Selo alemão de 2009 comemorando as leis de Kepler.

"Os quadrados dos períodos de translação dos planetas são proporcionais aos cubos dos semi-eixos maiores de suas órbitas".

Ou seja, sendo T o período de revolução (ano do planeta) e D o semi-eixo maior da órbita de um planeta, tem-se:

, com k constante.

Esta lei indica que existe uma relação entre a distância do planeta e o período de translação (tempo que ele demora para completar uma revolução em torno do Sol). Portanto, quanto mais distante estiver do Sol mais tempo levará para completar sua volta em torno desta estrela.

Descobertas posteriores

A explicação física do comportamento dos planetas veio somente um século depois, quando Isaac Newton foi capaz de deduzir as leis de Kepler a partir das hoje conhecidas como leis de Newton e de sua lei da gravitação universal, usando sua invenção do cálculo. É possível notar, de suas leis, que outros modelos de gravitação dariam resultados empíricos falsos. Em 1687, Newton publicou os Principia, onde explica as forças que agem sobre os planetas devido à presença do Sol: “Da primeira lei de Kepler que a força que age constantemente sobre o planeta tem sua linha de ação passando pelo Sol, para o qual é dirigida. Portanto o Sol tudo atrai. Da segunda que essa força é também inversamente proporcional ao quadrado da distância entre o Sol e o planeta. Ou seja, que quanto mais perto o planeta está maior é a força de atração do Sol. E da terceira que devido ao Sol, a força que age constantemente sobre o planeta, além de ser central, estar dirigida para o Sol e ser inversamente proporcional ao quadrado da distância, é diretamente proporcional à massa do planeta. O coeficiente de proporcionalidade não depende do planeta”.

 

Derivação das leis de Kepler

Com a Teoria da Gravitação Universal de Isaac Newton, foi possível postular um único princípio:

que, aliado às Três Leis de Newton, foi capaz de explicar completamente as observações astronômicas conhecidas até a época e ainda depois, até a descoberta de que a velocidade da luz no vácuo é constante para todos os referenciais. Essa descoberta levou à criação da teoria da relatividade restrita e, consequentemente, da teoria da relatividade geral, que, para certos fenômenos que até então não haviam sido observados, invalida a teoria de Newton da gravitação. No entanto, as leis de Newton e a sua teoria da gravidade são mais do que o suficiente para explicar as leis de Kepler. De fato, as três leis são deriváveis da simples equação postulada acima, de modo que ainda aparecem mais completas do que da forma descrita por Kepler. Para derivá-las, é preciso introduzir alguns conceitos.

representa a derivada temporal de x, enquanto é a derivada temporal segunda de x.

é o vetor unitário que indica a direção do planeta em relação à sua estrela. A derivada temporal desse vetor, que representaremos como é igual a , onde é a velocidade angular do planeta em relação à estrela, e é um vetor unitário perpendicular a . Existem duas direções possíveis de um vetor unitário perpendicular a outro, mas a direção deste é escolhida de modo que tivesse que virar no sentido anti-horário para apontar na mesma direção dele. A derivada de , por sua vez, é .

O vetor é o vetor-posição do planeta em relação à sua estrela, e é definido como , onde é o módulo da distância entre o planeta e a estrela. Assim, . Seguindo daí,

.

Organizando, temos,

Isso será usado na derivação das leis, que vem a seguir:

 

Primeira lei de Kepler

Em primeiro lugar, consideramos o planeta como sendo uma partícula (o que se justifica com boa aproximação para o fim das leis de kepler, já que o tamanho dos planetas do sistema solar são desprezíveis em comparação com a sua distância ao sol). Então, usamos a teoria da gravitação universal:

Supondo que a massa do planeta é constante, (o que está de acordo com os sistemas observados por kepler), usamos a primeira lei de Newton.

Assim,

e

Da última, podemos derivar a conservação do momento angular, multiplicando os dois membros por :

onde é uma constante, que sabemos ser a magnitude do momento angular.

Podemos transformar derivadas temporais em derivadas em relação a , a partir da seguinte relação:

Se tivermos a derivada de qualquer função X(t) em relação ao tempo, podemos usar a regra da cadeia:

O que é de grande utilidade na equação diferencial:

É preciso aqui extrair do momento angular uma relação útil:

Substituindo na equação principal,

Aqui, convém usar uma transformação de variável:

Utilizando-a na equação diferencial, a simplificamos significativamente.

A função que satisfaz à essa equação diferencial é:

Ou seja,

é uma constante arbitrária de integração, e pode ser obtido se for dada a posição do planeta em qualquer instante. Com menor do que 1, temos a equação de uma elipse escrita em coordenadas polares. Se for 0, a equação é a de um círculo.

Assim, derivamos a Primeira Lei de Kepler.

Segunda lei de Kepler

A segunda Lei de Kepler é bem mais simples de se derivar.

A área descrita pelo raio-vetor que liga o planeta à sua estrela durante um certo tempo é dada por

Onde são as áreas percorridas em frações desse tempo. Podemos fazer essas frações de tempo arbitrariamente pequenas, e consequentemente teremos um N cada vez maior. Nada se altera se fizermos o limite em que as frações de tempo tendem a 0, ou seja:

.

Quando tomamos áreas menores, elas se aproximam arbitrariamente da área de um triângulo com base e altura , onde é a magnitude do raio vetor que liga o planeta à sua estrela em algum instante dentro de um intervalo de tempo , e , com sendo o análogo de em algum instante dentro do intervalo . Ou seja, é simplesmente a distância percorrida pelo planeta em um certo tempo.

Ou seja, as áreas se aproximam arbitrariamente de:

também pode se expressado como , onde é a velocidade do planeta, em algum instante do mesmo intervalo de tempo de .

Quando N tende a infinito, tende a 0. Assim,

O que constitui uma integral:

ou, como ,

é o momento angular sobre a massa, o que nesse caso permanece sempre constante. Assim, a integral dá:

Como o momento angular é sempre o mesmo, são percorridas áreas iguais em tempos iguais. Temos a segunda Lei de Kepler

 

Terceira lei de Kepler

A terceira Lei de Kepler é mais sutil. Ela é escrita em função do raio médio, então devemos achar esse raio. Na equação do raio:

A única variável é o , de modo que o raio médio corresponde ao valor médio dessa variável. Esse valor corresponde a , ou seja, . Assim, o raio médio correspondente é:

Podemos pensar também na velocidade angular média, correspondente ao raio médio. Ambos estão ligados através do momento angular (). Então

Uma definição importante é a do período, em função da velocidade angular média:

A presença da velocidade angular média nessa equação é justificada pelo fato de que deve haver algum valor da velocidade angular, em algum instante, que satisfaça a essa equação. Esse valor é justamente o da velocidade angular média.

É possível demonstrar que o período de um planeta com órbita circular de raio e velocidade angular é igual ao período de qualquer planeta com órbita elíptica de raio médio e velocidade angular média . Isso é feito através da Segunda Lei de Kepler. A área total de um círculo é , e a área total de uma elipse é, pela Segunda Lei, . Através da definição de acima, vemos:

Lembrando a equação correspondente ao raio médio (), temos:

Que corresponde à área do círculo. Como, pela Segunda Lei, áreas iguais são percorridas em tempos iguais, então o período do planeta de órbita elíptica pode ser tomado a partir do período de uma órbita circular correspondente.

O que constitui a terceira lei de Kepler.

Referências

http://pt.wikipedia.org/wiki/Leis_de_Kepler