Karl Weierstrass

Karl Wilhelm Theodor Weierstraß, mais conhecido como Karl Weierstrass. Nasceu em Ostenfelde (próximo de Ennigerloh), a 31 de Outubro de 1815, e, faleceu em Berlim, a 19 de Fevereiro de 1897. Weierstrass foi um matemático alemão, professor na Universidade de Berlim.

Vida e carreira

Filho de um oficial alfandegário, quando jovem demonstrou habilidade em línguas e no trato com os números. Porém, por influência do pai, ingressou em um programa de leis e comércio da Universidade de Bonn, mas, para desgosto da família, concentrou-se mais na esgrima e na cerveja do que nos estudos, e retornou para casa, quatro anos mais tarde, sem nenhum diploma. Em 1839, Weierstrass entrou para a Academia de Münster, com o objetivo de obter um título em educação secundária. Lá conheceu o matemático Christoph Gudermann, por quem foi orientado. As idéias de Gudermann influenciaram muito seu trabalho. Nos 15 anos seguintes à sua formatura, ensinou alemão, caligrafia, geografia e matemática em uma escola secundária.

Karl Weierstrass, fotogravura após uma pintura por R. von Voigtländer (1895).

Por ser um professor secundário, muito do seu trabalho foi ignorado. Somente em 1854 publicou um artigo de maior importância, o que lhe deu, da noite para o dia, fama matemática internacional. No mesmo ano recebeu, da Universidade de Königsberg, um título de doutor honorário, e, em 1856, na Universidade de Berlim, teve início sua carreira como professor universitário. Em 1860 apresentou a primeira fórmula para uma função contínua que não fosse derivável em nenhum ponto, fortalecendo as teorias que o matemático da boêmia Bernhard Bolzano desenvolveu em 1834, quando apresentou uma destas funções. Seu trabalho forneceu as bases da teoria das funções analíticas. Weierstrass foi um pioneiro da moderna análise matemática e mentor da matemática Sofia Kovalevskaya. Dentre seus mais brilhantes seguidores destaca-se também Georg Cantor e Edmund Husserl. Criador do conceito de limite de uma função.

Teorema de Stone-Weierstrass

Em matemática, o teorema da aproximação de Stone-Weierstrass afirma que toda função real contínua cujo domínio é um intervalo compacto, ou seja, fechado e limitado pode ser aproximado uniformemente por polinômios. Várias generalizações deste teorema foram estabelecidas, como, por exemplo, generalizando a família de aproximantes (que podem ser substituídos por qualquer álgebra de funções com certas propriedades) ou substituindo o domínio por um compacto qualquer.

Demonstração da versão real

A versão real deste teorema admite uma demonstração construtiva simples usando os polinômios de Bernstein.

Seja $f:[a,b]\to\mathbf{R}$ uma função contínua. Então para todo $\varepsilon>0$ , existe um polinômio

tal que:

$\|P(x)-f(x)\|_{L^{\infty}[a,b]}\leq \varepsilon$ , ou seja: $|P(x)-f(x)|\leq\varepsilon, \forall x\in[a,b]$

Dem.: Sem perda de generalidade, podemos supor

Primeiramente, estabeleçamos uma estimativa:

(Veja polinômios de Bernstein)

Como

é uma função contínua em um compacto,

é também uniformemente contínua. Logo existe $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(y)|<\varepsilon/2$ sempre que $|x-y|<\delta$ e $0\leq x,y\leq 1$ e ainda existe uma constante

tal que $|f(x)|\leq M$ .

Agora, defina:

$P_n(x)=\sum_{i=0}^nf\left(\frac{i}{n}\right)B_i^n(x)$

Como $\sum_{i=0}^nB_i^n(x)=1$ , vale que $f(x)=\sum_{i=0}^nf(x)B_i^n(x)$ e vale a estimativa:

$\begin{array}{rcl}|f(x)-P_n(x)|&\leq&\displaystyle\sum_{i=0}^n\left|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)\right|B_i^n(x)\\&=&\displaystyle\sum_{S_1}\left|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)\right|B_i^n(x)+\displaystyle\sum_{S_2}\left|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)\right|B_i^n(x)\end{array}$

onde $S_1=\{0\leq i\leq n: |x-i/n|<\delta\}$ e $S_2=\{0\leq i\leq n: |x-i/n|\geq\delta\}$ .

$\sum_{S_1}\left|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)\right|B_i^n(x)\leq \sum_{S_1}\varepsilon/2B_i^n(x)\leq \varepsilon/2\sum_{i=1}^nB_i^n(x)=\varepsilon/2$

$\begin{array}{rcl}\displaystyle\sum_{S_2}\left|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)\right|B_i^n(x)&\leq& 2M\displaystyle\sum_{S_2}B_i^n(x) \leq 2M\displaystyle\sum_{S_2}\frac{(x-i/n)^2}{\delta^2}B_i^n(x) \\&\leq&\frac{2M}{\delta^2}\displaystyle\sum_{i=0}^{n}(x-i/n)^2B_i^n(x) \leq \frac{M}{2\delta^2n}<\epsilon/2,\hbox{ se } n>M/\varepsilon\delta^2\end{array}$

E o resultado segue, escolhendo $n>M/\varepsilon\delta^2$ e

Teorema de Bolzano-Weierstrass

O teorema de Bolzano-Weierstrass estabelece que um conjunto do

é sequencialmente compacto se e somente se é fechado e limitado. Por sequencialmente compacto, entende-se que toda sequência extraída do conjunto, possui uma subsequência convergente. Ou seja, se

é um conjunto seqüencialmente compacto e

é uma seqüência de pontos pertencentes a

, então existe uma subseqüência

tal que:

$\lim_{k\to \infty}x_{n_k}=x^*\in K\,$

Um conjunto $F\,$ é dito fechado se toda sequência convergente contida em $F\,$ converge em $F\,$ , ou seja:

$x_n \in F$ e $x_n\to x\,$ , então: $x\in F\,$

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma esfera de raio finito.

Lema de Bolzano-Weierstrass na reta

Estabeleceremos o seguinte lema que nos permitirá dar seqüência à demonstração do teorema.

Seja $x_n\,$ , uma sequencia limitada em $\mathbb{R}\,$ , então existe uma subsequência $x_{n_k}\,$ convergente.

Demonstração: Primeiramente, defina $x_{n_1}=x_1\,$

Como $x_n\,$ é limitada, existe um intervalo $[a_1,b_1]\,$ tal que:

$x_n\in[a_1,b_1],~~\forall n \,$

Seja $M_1=\frac{b_1+a_1}{2}\,$ o ponto médio entre $a_1\,$ e $b_1\,$ .

Como $[a_1,b_1]=[a_1,M_1]\bigcup [M_1,b_1]\,$ , deve haver pelo menos um destes intervalos com a propriedade que $x_n\,$ pertence a ele infinitas vezes. Escolha um destes intervalos.

Defina $x_{n_2}\,$ como qualquer elemento da sequência que pertence ao intervalo escolhido contando que $n_2>n_1\,$ .

Se o intervalo escolhido foi aquele que fica à direita, então defina:

$a_2=M_1\hbox{ e } b_2=b_1\,$

Caso contrário escolha:

$a_2=a_1\hbox{ e } b_2=M_1\,$

Observe que:

$b_2-a_2 = \frac{b_1-a_1}{2}\,$ , ou seja, o comprimento do intervalo foi reduzido pela metade.

Repita este processo recursivamente, de forma a obter uma sequência de intervalos $[a_k,b_k]\,$ e de pontos $x_{n_k}\,$ com as seguintes propriedades:

$x_{n_k}\in [a_k,b_k]\,$
$b_k-a_k=\frac{b_{k-1}-a_{k-1}}{2}=\frac{b_{1}-a_{1}}{2^{k-1}}\,$
$a_k\geq a_{k-1}\,$
$b_k\leq b_{k-1}\,$

Assim, $a_k\,$ é uma sequência não-decrescente e limitada superiormente por $b_1\,$ , portanto converge para um limite, digamos, $a\,$ . $b_k\,$ é uma sequência não-crescente e limitada inferiormente por $a_1\,$ , portanto também converge para um limite $b\,$ .

Mas $b_k-a_k=\frac{b_{1}-a_{1}}{2^{k-1}}\to 0\,$ , portanto $a=b\,$ . Como $a_k\leq x_{n_k}\leq b_k\,$ , o teorema do confronto estabelece que $x_{n_k}\,$ converge para o mesmo limite.

Lema de Bolzano-Weierstrass em mais dimensões

A demonstração pode ser feita de duas formas.

Uma delas é generalizar a demonstração acima para $\mathbb{R}^m\,$ :

Então seja $x_n\,$ limitada em $\mathbb{R}^n\,$ , existe uma hipercubo (a rigor, um hiperparalelogramo) que contém a sequência:

$x_n\in [a^1_1,b^1_1]\times [a^2_1,b^2_1]\times\ldots\times[a^n_1,b^n_1]\,$

Dividindo-se, em cada passo, o hipercubo em $2^m\,$ sub-hipercubos, constrói-se uma sequência $\{x_{n_k}\}\,$ da mesma forma como em $\mathbb{R}\,$ .

Agora escreva as componentes do vetor $x_{n_k}=(x^1_{n_k},x^2_{n_k},\ldots,x^m_{n_k})\,$ . Como $a^i_k\leq x^i_{n_k}\leq b^i_k, i=1,2,\ldots,n\,$ , temos que cada componente está convergindo e, portanto, existe o limite: $x_{n_k}\to x^*\,$ O resultado segue.

Outra forma é por indução finita na dimensão m:

Para m = 1, temos o resultado em $\mathbb{R}\,$

Se vale para $\mathbb{R}^m\,$ , então, dada uma sequência em $\mathbb{R}^{m+1}\,$ , temos que as coordenadas de 1 a m estão no $\mathbb{R}^m\,$ , portanto existe uma subsequência convergente para estas coordenadas. A m+1-ésima coordenada desta subsequência está em $\mathbb{R}\,$ , portanto existe um sub-sub-sequência que converge para esta última coordenada. Agora é fácil ver que esta sub-sub-sequência converge para todas coordenadas, logo converge em $\mathbb{R}^{m+1}\,$ - o que prova o resultado.

Fechado e limitado implica sequencialmente compacto

Considere que um conjunto seja fechado e limitado, queremos mostrar que é sequencialmente compacto.

Seja $\{x_n\}\,$ uma sequência extraída do conjunto, como o conjunto é limitado, a sequência também o é. Pelo lema acima, ela admite uma subsequência convergente. Como o conjunto é fechado, o limite pertence ao conjunto.

Sequencialmente compacto implica limitado

Seja $F\,$ um conjunto não-limitado. Por não ser limitado, deve possuir uma sequência $\{x_n\}\,$ tal que: $|x_n| \to \infty\,$ que, portanto não converge.

Logo o conjunto não é sequencialmente compacto.

Sequencialmente compacto implica fechado

Seja $K\,$ um conjunto sequencialmente compacto e seja $\{x_n\}\,$ um sequência convergente extraída de $K\,$ , da compacidade, segue que o limite pertence a $K\,$ e o resultado segue.

Teste M de Weierstrass

Em matemática, no estudo das séries de funções, o teste M de Weierstrass é uma extensão do teste da comparação que aplica à estabelecer a convergência uniforme destas séries, ao compará-las com séries numéricas.

O teste M de Weierstrass se aplica originalmente às séries de funções reais ou complexas, mas pode se aplicar a qualquer a séries de funções cuja imagem são pontos de um espaço de Banach.