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| Gottlob Frege |
Friedrich
Ludwig Gottlob Frege.
Nasceu em Wismar, a 8 de Novembro de 1848, e, faleceu em Bad Kleinen,
a 26 de Julho de 1925. Frege foi um matemático, lógico e filósofo
alemão. Trabalhando na fronteira entre a filosofia e a matemática,
Frege foi o principal criador da lógica matemática moderna, sendo
considerado, ao lado de Aristóteles, o maior lógico de todos os
tempos. Estudou nas universidades de Jena e Gotinga e tornou-se
professor de Matemática em Jena, onde lecionou primeiro como docente
e, a partir de 1896, como catedrático, onde permaneceu até sua
morte. Em 1879 publicou Begriffsschrift
(1879). Ideografia
(Ideography)
é uma tradução sugerida em carta pelo próprio autor, outra opção
seria Notação
Conceptual,
onde, pela primeira vez, se apresentava um sistema matemático lógico
no sentido moderno. Em parte incompreendido por seus contemporâneos,
tanto filósofos como matemáticos, Frege prosseguiu seus estudos e
publicou, em 1884, Die
Grundlagen der Arithmetik
(Os
Fundamentos da Aritmética),
obra-prima filosófica que, no entanto, sofreu uma demolidora crítica
por parte de Georg
Cantor,
justamente um dos matemáticos cujas ideias se aproximavam mais das
suas. Em 1903 publicou o segundo volume de Grundgesetze
der Arithmetik
(Leis
básicas da Aritmética),
em que expunha um sistema lógico no qual seu contemporâneo e
admirador Bertrand
Russell
encontrou uma contradição, que ficou conhecida como o paradoxo de
Russell. Esse episódio impactou profundamente a vida produtiva de
Frege. Segundo Russell, apesar da natureza de suas descobertas
marcarem época, sua obra permaneceu na obscuridade até 1903, quando
o próprio filósofo e matemático inglês chamou atenção para a
relevância dos escritos. O grande contributo de Frege para a lógica
matemática foi a criação de um sistema de representação
simbólica (Begriffsschrift,
conceitografia ou ideografia) para representar formalmente a
estrutura dos enunciados lógicos e suas relações, e a contribuição
para a implementação do cálculo dos predicados. Esse parte da
decomposição funcional da estrutura interna das frases (em parte
substituindo a velha dicotomia sujeito-predicado, herdada da tradição
lógica Aristotélica, pela oposição matemática função-argumento)
e da articulação do conceito de quantificação (implícito na
lógica clássica da generalidade), tornado assim possível a sua
manipulação em regras de dedução formal. (As expressões "para
todo o x", "existe um x", que denotam operações de
quantificação sobre variáveis têm na obra de Frege uma de suas
origens). Ao contrário de Aristóteles,
e mesmo de Boole,
que procuravam identificar as formas válidas de argumento, e as
assim chamadas "leis do pensamento", a preocupação básica
de Frege era a sistematização do raciocínio matemático, ou dito
de outra maneira, encontrar uma caracterização precisa do que é
uma “demonstração matemática”. Frege havia notado que os
matemáticos da época freqüentemente cometiam erros em suas
demonstrações, supondo assim que certos teoremas estavam
demonstrados, quando na verdade não estavam. Para corrigir isso,
Frege procurou formalizar as regras de demonstração, iniciando com
regras elementares, bem simples, sobre cuja aplicação não houvesse
dúvidas. O resultado que revolucionou a lógica foi o
desenvolvimento do cálculo de predicados (ou lógica de predicados).
Pensamento
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| Página título de Begriffsschrift,edição original 1879. |
Em
1879, Frege publicou sua obra revolucionária intitulada
(Begriffsschrift),
no qual lançou as bases da lógica da matemática
moderna,
iniciando uma nova era nesta disciplina que havia permanecido
praticamente inalterada desde Aristóteles.
Mediante a introdução de uma nova sintaxe, com a inclusão dos
chamados quantificadores (“para
todos”
ou “para
pelo menos um”),
permitiu formalizar uma enorme quantidade de novos argumentos. Também
foi o primeiro a distinguir a caracterização formal das leis
lógicas de seu conteúdo semântico. Uma vez fixados os princípios
axiomáticos da lógica, empreendeu a tarefa de construir a
aritmética com base nisso. Um problema nas obras revolucionárias de
Frege é a quantidade de espaço impresso que requere sua notação;
realmente não foi até a publicação dos Principia
Mathematica
de Alfred
North Whitehead
e Bertrand
Russell
quando o poder da lógica formal, em uma notação menos extensa (mas
que requere muitos símbolos de agrupamento) foi significativo.
Sentido
e referência em Frege
Segundo
Frege nomes tem tanto sentido quanto referência, (alguns nomes não
possuem referência, mas, segundo Frege, isso é apenas um erro da
linguagem ordinária, e não teria espaço em seu sisteme linguístico
ideal). A referência de um nome é aquilo que o nome denota, e o
sentido é o modo de apresentação do objeto denotado. Frege chegou
a essa conclusão ao analisar sentenças de identidade informativa
e.g A=B, onde "A" e "B" possuem uma mesma
referência, se não existisse um sentido e os nomes apenas
indicassem uma referência, não poderia haver diferença nas
sentenças do tipo: A=A e A=B, sendo que A=A é trivial, uma mera
consequência da lei de identidade, enquanto A=B é informativa.
- O modo de apresentação (contendo valor informativo) associado a uma expressão.
- O determinante da referência/denotação associada à expressão. (O sentido singulariza a referência de um termo singular.)
- O que providencia entidades a serem denotadas em contextos oblíquos.
Trabalho como lógico
Apesar
de sua educação e trabalho inicial terem sido matemáticos,
especialmente geométricos, o pensamento de Frege logo se transformou
em lógica. Sua Begriffsschrift, eine der arithmetischen
nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (Halle A / S: Verlag
von Nebert Louis, 1879) (Notação Conceitual: Uma Linguagem Formal,
decalcada da aritmética, do Pensamento Puro) marcou uma virada na
história da lógica . O Begriffsschrift inovou, incluindo um
tratamento rigoroso das ideias de funções e variáveis. Frege
queria mostrar que a matemática se desenvolve a partir da lógica,
mas ao fazê-lo, ele desenvolveu técnicas que o levaram muito além
da lógica silogística aristotélica e estóica proposicionais que
tinham descido com ele na tradição da lógica. Com efeito, Frege
inventou a lógica de predicados axiomática, em grande parte graças
à sua invenção de variáveis quantificadas, que eventualmente
tornou-se onipresente na matemática e na lógica, e que resolveu o
problema da generalidade múltipla. A lógica anterior tinha lidado
com as constantes lógicas e, ou, se ... então ... não, e alguns e
todos, mas iterações destas operações, especialmente "alguns"
e "todos", foram pouco compreendidas: mesmo a distinção
entre um par de frases como "todo menino ama alguma garota"
e "alguma menina é amada por todos os meninos" era capaz
de ser representado só muito artificialmente, enquanto que o
formalismo de Frege não tinha dificuldade em expressar as diferentes
leituras de" cada menino ama uma garota que ama algum garoto que
ama uma garota" e frases semelhantes, em paralelo completo com
seu tratamento de, digamos, "todo menino é tolo". É
freqüentemente observado que a lógica de Aristóteles não é capaz
de representar até mesmo as inferências mais elementares da
geometria de Euclides, mas a "notação conceitual" de
Frege pode representar inferências envolvendo afirmações
matemáticas indefinidamente complexas. A análise dos conceitos
lógicos e a maquinaria de formalização que é essencial para a
Principia Mathematica (3 vols., 1910-1913) (por
Bertrand Russell, 1872-1970, e Alfred North Whitehead, 1861-1947), a
teoria das descrições de Russell, aos teoremas de incompletude de
Kurt Gödel (1906-1978) , e a teoria da verdade de
Alfred Tarski (1901-1983) , é em última análise,
devido a Frege. Um dos propósitos declarados de Frege era isolar os
princípios genuinamente lógicos de inferência, de modo que na
representação adequada da prova matemática, seria sem nenhum apelo
a "intuição". Se havia um elemento intuitivo, que era
para ser isolado e representado em separado como um axioma: a partir
daí, a prova era para ser puramente lógica e sem lacunas. Tendo
exposto essa possibilidade, o propósito maior de Frege era defender
a visão de que a aritmética é um ramo da lógica, uma visão
conhecida como logicismo: ao contrário de geometria, aritmética era
para ser mostrada como não ter qualquer base na "intuição",
e sem necessidade de axiomas não-lógicos. Já em 1879,
Begriffsschrift mostrou importantes teoremas
preliminares, por exemplo, uma forma generalizada da lei de
tricotomia, foram obtidos dentro do que Frege entendeu ser a lógica
pura. Esta ideia foi formulada em termos não-simbólico em sua Die
Grundlagen der Arithmetik (1884) (Os Fundamentos da
Aritmética). Mais tarde, em seu Grundgesetze der
Arithmetik (Leis Básicas da Aritmética) (vol.
1, 1893;. Vol 2, 1903) (vol. 2 do que foi publicado, a expensas
suas), Frege tentou obter, pelo uso de seu simbolismo , todas as leis
da aritmética de axiomas que ele afirmou como lógicas. A maioria
destes axiomas foram herdadas do seu Begriffsschrift, embora não sem
algumas mudanças significativas. O princípio verdadeiramente novo
foi um que ele chamou a Lei Básica V: a "extensão do valor"
da função f (x) é a mesma que a "extensão do valor" da
função g (x) se e somente se ∀ x [f (x) = g (x)]. Em um episódio
famoso, Bertrand Russell escreveu a Frege, assim como Vol. 2 do
Grundgesetze estava prestes a ir para imprensa em 1903, mostrando que
o paradoxo de Russell poderia ser derivada da Lei Básica V de Frege.
É fácil definir a relação de filiação de um conjunto ou
extensão no sistema de Frege; Russell, em seguida, chamou a atenção
para "o conjunto de coisas x tais que x não é membro de x ".
O sistema do Grundgesetze implica que o conjunto, portanto, foi
caracterizado tanto é e não é um membro de si mesmo, e é,
portanto, inconsistente. Frege escreveu um apressado Apêndice de
última hora para o Vol. 2, derivando a contradição e propondo
eliminá-la, modificando a Lei Básica V. Frege abriu o Apêndice com
o comentário excepcionalmente sincero: "Quase nada mais infeliz
pode acontecer a um escritor científico do que ter um dos
fundamentos do seu edifício abalado após o trabalho estar
terminado. Esta foi a posição que fui colocado por uma carta do Sr.
Bertrand Russell, justamente quando a impressão deste volume estava
se aproximando de sua conclusão. "(Esta carta e a resposta de
Frege são traduzidas em Jean van Heijenoort 1967.)
Solução proposta de Frege foi posteriormente demonstrada implicar
que há um só objeto no universo do discurso e, portanto, não vale
nada (na verdade, isso faria de uma contradição no sistema de Frege
se tivesse axiomatizada a ideia, fundamental para a sua discussão,
que o verdadeiro e o falso são objetos distintos, ver, por exemplo,
Dummett 1973), mas o trabalho recente tem mostrado que grande parte
do programa do Grundgesetze podem ser recuperadas de outras maneiras:
- Lei Básica V pode ser enfraquecida de outras maneiras. A maneira mais conhecida é devido ao filósofo e matemático lógico George Boolos (1940-1996), que era um especialista na obra de Frege. A "conceito" F é "pequeno" os objetos abrangidos por F não podem ser colocados em uma correspondência um-para-um com o universo do discurso, isto é, se: ∃ R [R é 1-para-1 e ∀ x ∃ y (xRy e Fy)]. Agora enfraquecer V para V *: um "conceito" F e um "conceito" G têm a "extensão" mesmo se e somente se nem G, nem F é pequena ou ∀ x (Fx ↔ Gx). V* é consistente se a aritmética de segunda ordem é, e é suficiente para provar os axiomas da aritmética de segunda ordem.
- Lei Básica V pode simplesmente ser substituída com o Princípio de Hume, que diz que o número de Fs é o mesmo que o número de Gs se e somente se os Fs podem ser colocados em uma correspondência 1-pra-1 com os Gs. Este princípio, também é consistente se a aritmética de segunda ordem é, e é suficiente para provar os axiomas da aritmética de segunda ordem. Este resultado é chamado de Teorema de Frege, porque percebeu-se que na aritmética em desenvolvimento,o uso e da Lei Básica V de Freg é restrita a uma prova do Princípio de Hume; é a partir deste, por sua vez, que os princípios aritméticos são derivados.
- Lógica de Frege, agora conhecida como lógica de segunda ordem, pode ser enfraquecida à chamada lógica de segunda ordem predicativa. Lógica de segunda ordem predicativa mais Lei Básica V é comprovadamente consistente por métodos finitistic ou construtivos, mas pode interpretar apenas fragmentos muito fracos da aritmética.
O
Trabalho de Frege na lógica tinha pouca atenção internacional até
1903, quando Russell escreveu um apêndice de The Principles of
Mathematics afirmando suas diferenças com Frege. A notação
diagramática que Frege tinha usado não tinha antecedentes (e não
teve imitadores desde então). Mais ainda, até Russell e Whitehead
Principia Mathematica (3 vols.) aparecerem em 1910-1913, a abordagem
dominante para a lógica matemática ainda era a de George Boole
(1815-1864) e seus descendentes intelectuais, especialmente Ernst
Schröder (1841-1902).As ideias lógicas de Frege, no entanto,
espalharam-se através dos escritos de seu aluno Rudolf Carnap
(1891-1970) e outros admiradores, particularmente Bertrand Russell e
Ludwig Wittgenstein (1889-1951).
Filósofo
Frege
é um dos fundadores da filosofia analítica , principalmente por
causa de suas contribuições à filosofia da linguagem , incluindo a
- Função -argumento análise da proposição;
- Distinção entre conceito e objeto (Begriff und Gegenstand);
- Princípio da composicionalidade;
- Princípio do contexto;
- Distinção entre o sentido e referência (Sinn und Bedeutung) de nomes e outras expressões, dito às vezes envolvem uma teoria de referência mediada .
Deve
ser mantido em mente que Frege foi empregado como um matemático, e
não um filósofo, e publicou seus artigos filosóficos em revistas
acadêmicas que muitas vezes eram de difícil acesso fora do mundo de
língua alemã. Suas primeiras coleções de seus escritos apareceram
apenas após a Segunda Guerra Mundial . Um volume de traduções em
Inglês dos ensaios filosóficos de Frege apareceu pela primeira vez
em 1952, editado por alunos de Wittgenstein, Peter Geach
(nascido em 1916) e Preto Max (1909-1988), com o apoio bibliográfico
de Wittgenstein (ver Geach, ed. 1975 Introdução, ). Apesar dos
elogios generosos de Russell e Wittgenstein, Frege era pouco
conhecido como filósofo durante sua vida. Suas ideias expandiram-se
principalmente por aqueles que ele influenciou, como Russell,
Wittgenstein e Carnap, e através do trabalho na lógica e semântica
pelos lógicos poloneses.
Personalidade
Frege
foi descrito por seus alunos como uma pessoa extremamente
introvertida, raramente entrando no diálogo, na maior parte de suas
palestras de frente para o quadro negro,ser espirituoso e às vezes
amargamente sarcástico.
O quebra-cabeça de Frege
Em
"Sobre
o Sentido e a Referência"
(1892) Frege apresenta um paradoxo envolvendo semântica e
epistemologia, e também uma solução para o mesmo. O paradoxo
envolve sinônimos e a possibilidade de uma pessoa desconhecer a
relação de sinonímia. Vejamos um exemplo. Os nomes "Cícero"
e "Túlio"
designam exatamente a mesma pessoa, o filósofo e orador romano autor
de De
Finibus.
Todavia, as frases "Cícero é Cícero" e "Cícero é
Túlio" não tem o mesmo valor cognitivo. "Cícero é
Cícero" é uma frase desinteressante que simplesmente expressa
a identidade de uma coisa consigo mesma (lei de Leibniz). "Cícero
é Túlio", por outro lado, tem valor informativo. Uma pessoa
que descobre que "Cícero" e "Túlio" designam a
mesma coisa não está meramente descobrindo a relação de
identidade que uma coisa tem consigo mesma, pois isso ela já sabia,
ao menos implicitamente. Mas, como podem as duas frases serem
diferentes do ponto de vista informativo, visto que os nomes
envolvidos designam a mesma coisa? A solução proposta por Frege
para o problema consiste em articular o significado dos designadores
em dois elementos, o sentido (Sinn)
e a referência (Bedeutung).
(Essa posição de Frege foi um dos alvos de Saul Kripke em *Naming
and Necessity*.) Os nomes "Cícero" e "Túlio"
têm a mesma referência, o filósofo romano. Mas não têm o mesmo
sentido, ou valor cognitivo. É por isso que quem diz "Cícero é
Túlio" não está dizendo algo trivial. O assim chamado
quebra-cabeça de Frege representa um dos desafios ao millianismo a
respeito dos nomes: a posição segundo a qual a contribuição de um
nome para o conteúdo das frases em que ocorrem é seu referente.
Citações
de Gottlob Frege
- 'Fatos, Fatos, Fatos', berra o cientista se ele quer enfatizar a necessidade de fundamentos sólidos para a ciência. O que é um fato? Um fato é um pensamento que é verdadeiro. Mas o cientista certamente não irá reconhecer algo que depende dos inconstantes estados mentais humanos como fundamento sólido para a ciência.
- - Gottlob Frege (1956). "The thought: A logical inquiry" em: Peter Ludlow (1997) "Readings in the Philosophy of Language". p.27.
- Todo bom matemático é pelo menos metade filósofo, e todo bom filósofo é pelo menos metade matemático.
- - Atribuída a Frege em: A.A.B. Aspeitia (2000) Mathematics as grammar: 'Grammar' in Wittgenstein's philosophy of mathematics during the Middle Period. Indiana University. p.25.
- Sem alguma afinidade entre as ideias humanas, a arte seria certamente impossível. Entretanto, nunca pode ser exatamente determinado até onde as intenções do poeta são realizadas.
- - Gottlob Frege (1892). On Sense and Reference
