Biografias e Curiosidades: óptica

Fresnel

Augustin-Jean Fresnel. Nasceu em Broglie, a 10 de Maio de 1788, e, faleceu em Ville-d'Avray, a 14 de Julho de 1827. Augustin-Jean Fresnel foi um físico francês. Fresnel contribuiu significativamente na teoria da óptica ondulatória. Estudou o comportamento da luz tanto teórica como experimentalmente. É considerado o fundador da óptica moderna.

Biografia

Fresnel, filho de um arquiteto, nasceu em Broglie (Eure). Sua aprendizagem foi lenta, e todavia era incapaz de ler quando contava com oito anos de idade. Aos treze anos entrou na École Centrale de Caen, e aos dezesseis na École Polytechnique, onde se graduou com honras. Desde então entrou à École nationale des ponts et chaussées. Trabalhou como engenheiro nas regiões de Vendée, Drôme e Ille-et-Vilaine; mas depois de apoiar aos Borbones em 1814 perdeu seu cargo quando Napoleão voltou ao poder. Na segunda restauração monárquica obteve um emprego como engenheiro em Paris, onde passaria grande parte de sua vida. Suas investigações em óptica, que continuariam até a sua morte, parece que começaram no ano de 1814, quando escreveu o esboço de um ensaio sobre a aberração óptica que, entretanto, não seria publicado. Em 1818, escreveu uma memória sobre a difração pela qual lhe seria outorgado no ano seguinte o prêmio da Academia francesa de ciências de Paris. Em 1819, foi nomeado comissário para os faróis, pois ele foi o primeiro a construir um tipo especial de lentes, chamados lentes de Fresnel, que substituiriam aos espelhos. Em 1823, foi nomeado unanimemente membro da academia e em 1825 passou a ser membro da Royal Society de Londres, que em 1827, quando se enfrentava a enfermidade que o mataria, lhe premiaram com a Medalha Rumford. Faleceu de tuberculose em Ville-d'Avray, próximo de Paris. Seus trabalhos em óptica receberam durante sua vida pouco reconhecimento público, e alguns de seus trabalhos não foram publicados pela Académie des Sciences até muito depois de sua morte. Mas, como escreveu a Thomas Young em 1824, “todos os elogios recebidos de François Arago, Pierre Simon Laplace e Jean-Baptiste Biot nunca lhe deram tanto prazer como o descobrimento da verdade teórica ou a confirmação de um cálculo por um experimento”.

Lente de Fresnel

(1) Corte de uma lente de Fresnel
(2) Corte de uma lente plano-convexa
de distância focal equivalente.

Uma Lente de Fresnel é um tipo de lente inventada pelo físico francês Augustin-Jean Fresnel. Criada originalmente para uso em faróis de sinalização marítima, seu desenho possibilita a construção de lentes de grande abertura e curta distância focal sem o peso e volume do material que seriam necessários a uma lente convencional. Comparadas a estas, as Fresnel são bem mais finas, permitindo a passagem de mais luz, e assim os faróis com elas equipados são visíveis a distâncias bem maiores. As lentes de Fresnel estão atualmente também presentes em muitos aparelhos e equipamentos:

Faróis dianteiros e farolins de automóveis;
Luzes de tráfego, semáforos;
Projetores para iluminação de palco no teatro e na indústria cinematográfica;
Holofotes militares e civis;
Equipamentos fotográficos, por exemplo, no sistema do visor de câmaras reflex;
Sistemas óticos de aterragem em aeroportos e porta-aviões;
VASI (Visual Approach Slope Indicator), indicador de ângulo de aproximação visual;
PAPI (Precision Approach Path Indicator), indicador de percurso de aproximação de precisão.

O uso de lentes de Fresnel reduz a qualidade da imagem, e assim tendem a ser unicamente usadas onde o fator qualidade não é crítico ou onde o volume de uma lente sólida impediria a sua utilização. Lentes de Fresnel muito econômicas podem ser estampadas ou moldadas a partir de plástico transparente e são usadas em diversos equipamentos:

Retroprojetores
Videoprojetores
Detetores de movimento, pirosensores
Lupas e lâminas acrílicas aumentadoras
Lâminas Fresnel para eliminação dos ângulos cegos em automóveis e veículos pesados
Identificação biométrica pela retina
Correção de distúrbios visuais como o estrabismo
Luzes de leitura em aviões de passageiros
Fogões e forjas solares
Sistemas de energia solar térmica, coletores solares
Estações de energia foto-voltaica, painéis fotovoltaicos

Classificação das lentes dos faróis de sinalização marítima

Lente de Fresnel de 1ª Ordem do
Farol de Kullens, Suécia.

As lentes de Fresnel foram industrializadas em sete tamanhos padrão (ordens), cada qual apresentando uma distância focal específica, sendo a distância focal, a distância do centro da fonte luminosa à lente. O seu desenho acabaria por ser aperfeiçoado em onze ordens. As grandes lentes Hiper-radiantes, Meso-radiantes e de 1ª ordem eram reservadas para os grandes faróis marítimos de costa, e as pequenas de 6ª, 7ª e 8ª ordem para navegação em rios e portos.

Ordens

Hiper-radiante - Distância focal = 1 330 milímetros (52 4 in).
Meso-radiante - Distância focal = 1 125 milímetros (44 3 in).
1ª Ordem - Distância focal = 920 milímetros (36 2 in)
2ª Ordem - Distância focal = 700 milímetros (27 6 in)
3ª Ordem - Distância focal = 500 milímetros (19 7 in) também designada (3ª Ordem grande modelo).
3ª Ordem e 1/2 - Distância focal ≅ 373 milímetros (14 7 in) a 375 milímetros (14 8 in).
4ª Ordem - Distância focal ≅ 250 milímetros (9 8 in) a 300 milímetros (11 8 in).
5ª Ordem - Distância focal ≅ 187,5 milímetros (7 4 in) a 190 milímetros (7 5 in).
6ª Ordem - Distância focal = 150 milímetros (5 9 in).
7ª Ordem - Distância focal ≅ 100 milímetros (3 9 in) a 125 milímetros (4 9 in).
8ª Ordem - Distância focal ≅ 70 milímetros (2 8 in) a 75 milímetros (3 0 in).

Número de Fresnel

O número de Fresnel F, chamado assim devido ao físico Augustin-Jean Fresnel, é um número adimensional que se utiliza em óptica, particularmente na difração das ondas electromagnéticas. Para uma onda electromagnética que atravessa uma abertura e impacta sobre um ecrã, o número de Fresnel F define-se como:

$F = \frac{a^{2}}{L \lambda}$

Onde λ é o comprimento de onda, a é o tamanho (por exemplo o raio) da abertura, e L é a distância a partir da abertura até ao ecrã. Dependendo do valor de F, a difração pode ser de dois tipos (ou casos) especiais:

Difracão de Fraunhofer para $F \ll 1$
Difração de Fresnel para $F \gtrsim 1$

Valores intermédios requerem uma análise mais detalhada, baseada na teoria da difração escalar.

Difração de Fresnel

Geometria da difração, mostrando os planos
da abertura (ou objeto de difração) e da
imagem com um sistema de coordenadas.

A Difração de Fresnel ou também é um padrão de difração de uma onda electromagnética obtida muito próxima do objeto causante da difração (muitas vezes uma fonte ou abertura). Mais precisamente, pode-se definir como o fenômeno de difração causado quando o número de Fresnel é grande e, portanto, não pode ser usada a aproximação Fraunhofer (difração de raios paralelos).

História

O físico francês Augustin-Jean Fresnel investiga os fenômenos da luz no campo da óptica, e deriva este princípio de difração no ano de 1816.

A integral de Difração de Fresnel

O padrão de difração do campo elétrico no ponto (x, y, z) é dado por:

$E(x,y,z)=-{i \over \lambda} \iint{ E(x',y',0) \frac{e^{ikr}}{r} \cos \theta}dx'dy'$

onde:

$r=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+z^2}$
$i \,$ é a unidade imaginária, y
$\cos \theta = \frac{z}{r}$ é o coseno do ângulo entre z y r.

A solução analítica desta integral é impossível excepto para as geometrias de difração mais simples. Portanto, esta integral deverá, em outros casos, calcular numericamente.

A difração de Fresnel

A condição de validez é algo débil e permite que os parâmetros de dimensão do obstáculo tenham valores comparáveis: a abertura é pequena comparada com o caminho óptico. Desta forma é interessante investigar no comportamento do campo elétrico apenas em uma pequena parte da área perto da origem da fonte luminosa, ou seja, para valores de x e y muito menores que z, neste caso pode-se assumir que $\theta \approx 0$ , isto vem a significar que: $\cos \theta \approx 1$ .

Assim como a difração de Fraunhofer, a difração de Fresnel ocorre devido a curvatura da frente de onda. Para a difração de Fresnel o campo elétrico em um ponto situado em (x, y, z) é dado por:

$E(x,y,z)=-{i \over \lambda}{e^{ikz} \over z}\iint E(x',y',0)e^{{ik \over 2z}[(x-x')^2+(y-y')^2]}dx'dy'$

Esta é a integral de difração de Fresnel; e vem a significar que se a aproximação de Fresnel é válida, o campo propagado é uma onda esférica, originada na abertura e movendo-se ao longo do eixo Z. A integral modula a amplitude e a fase de uma onda esférica. A solução analítica desta expressão é apenas possível em casos muito raros. Para casos muito simples, nos quais há distâncias muito maiores, deve-se ver a difração de Fraunhofer.

Integral de Fresnel

Integrais de Fresnel, S(x) e C(x), são duas funções transcendentais, cujo o nome advém de Augustin-Jean Fresnel, que são usadas em óptica. Advieram da descrição do fenômeno de difração de Fresnel em campos próximos (sugerido do inglês, near field) e são definidos pelas seguintes representações de integral:

$S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt,\quad C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt.$

A simultânea equação paramétrica de S(x) e C(x) é a Espiral de Cornu (também conhecida como clotóide e como espiral de Euler).

Definição

Os integrais de Fresnel admitem a seguinte série de potências que convergem para todo o x:

$C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}$

Alguns autores, incluindo Handbook of Mathematical Functions, (eqs 7.3.1 – 7.3.2) usam $\frac{\pi}{2}t^2$ para o argumento dos integrais definindo S(x) e C(x). Para conseguir estas funções, multiplicam os integrais acima por $\sqrt{\frac{2}{\pi}}$ e multiplicam o argumento x por $(\frac{\pi}{2})^{1/2}$ .

Espiral de Cornu

A espiral de Euler, ou Cornu, ou clotóide, é a curva gerada pela equação paramétrica de S(t) por oposição a C(t). A esperial de Cornu foi criada por Marie Alfred Cornu como um nomograma para computação de difrações em ciência e engenharia. Pela definição dos integrais de Fresnel, os infinitésimais dx e dy são:

$dx = C'(t)dt = \cos(t^2) dt \,$

$dy = S'(t)dt = \sin(t^2) dt \,$

Logo o comprimento da espiral medido da origem pode ser expresso como:

$L = \int_0^t {\sqrt {dx^2 + dy^2}} = \int_0^t{dt} = t$

Isto é, o parâmetro t é o comprimento da curva medido da origem (0,0) e a espiral de Cornu tem comprimento infinito. O vector [cos(t²), sin(t²)], também chamado vector tangente unitário, ao longo da espiral dá θ = t². Visto t ser o comprimento da curva, a curvatura $\kappa$ pode ser expressa como:

$\kappa = \tfrac {1}{R} = \tfrac {d\theta}{dt} = 2t$

E o rácio de modificação da curvatura com respeito ao comprimento da curva é:

$\tfrac {d^2\theta}{dt^2} = 2$

Uma espiral de Cornu tem uma propriedade em que a curvatura é, em qualquer ponto, proporcional à distância ao longo da espiral, medida desde a origem. Esta propriedade faz com que seja útil no cálculo da curvatura em engenharia de autoestradas ou caminhos de ferro. Se um veículo segue a espiral a uma velocidade, o parâmetro t nas derivações acima também representa o tempo. Isto é o veículo seguindo a espiral em velocidade constante vai ter um valor constante de aceleração angular. Secções das espirais de Euler são vulgarmente usadas na forma de ciclos de montanha-russa para fazer o que é conhecido como ciclos verticais (em que os utilizadores são postos de cabeça para baixo na sua viagem após uma subida, seguido de uma descida).

Propriedades

C(x) e S(x) são funções ímpares de x.
usando a série de potências acima, os integrais de Fresnel podem ser estendidos aos domínios dos números complexos, e tornam-se funções analíticas de uma variável complexa. Os integrais de Fresnel podem ser expresso como função erro como podemos ver:

$S(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{-i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)$

$C(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{-i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right).$

C e S são funções inteiras.
Os integrais definindo C(x) e S(x) não podem ser avaliado em numa expressão fechada em termo de funções elementares, excepto em casos especiais. Os limites desta funções à medida que x se aproxima do infinito são conhecidos:

$\int_{0}^{\infty} \cos t^2\,dt = \int_{0}^{\infty} \sin t^2\,dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.$

Avaliação

Os limites de C e S à medida que o argumento vai para o infinito podem ser encontrados por métodos de análise complexa. Isto usa o integral de contorno (sugerido do inglês contour integral da função

$e^{-\frac{1}{2}t^2}$

à volta da fronteira da região em forma do setor circular no plano complexo criada pelo positivo eixo x, meia linha de y = x, x ≥ 0, e o círculo de raio R centrado na origem. Como R vai para infinito, o integral ao longo do arco circular tende para 0, o integral ao longo do eixo real tende para o integral gaussiano

$\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2}dt = \sqrt{\frac{\pi}{2}},$

depois de algumas transformações de rotina, o integral ao longo do bi-sector do primeiro quadrante pode ser relacionado com o limite dos integrais de Fresnel.

Generalização

O integral $\int x^m \exp(ix^n)dx = \int\sum_{l=0}^\infty\frac{i^lx^{m+nl}}{l!}dx = \sum_{l=0}^\infty \frac{i^l}{(m+nl+1)}\frac{x^{m+nl+1}}{l!}$

é uma função hipergeométrica confluente (sugerido do inglês, confluent hypergeometric function) e também uma função de gama incompleta (sugerido do inglês, incomplete Gamma function).

$\int x^m \exp(ix^n)dx =\frac{x^{m+1}}{m+1}\,_1F_1\left(\begin{array}{c}\frac{m+1}{n}\\1+\frac{m+1}{n}\end{array}\mid ix^n\right)=\frac{1}{n}i^{(m+1)/n}\gamma(\frac{m+1}{n},-ix^n),$

que reduz o integral de Fresnel se as suar partes reais ou imaginárias são retiradas:

$\int x^m\sin(x^n)dx = \frac{x^{m+n+1}}{m+n+1}\,_1F_2\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}+\frac{m+1}{2n}\\\frac{3}{2}+\frac{m+1}{2n},\frac{3}{2}\end{array}\mid -\frac{x^{2n}}{4}\right)$ .

O termo principal da expansão assintótica é

$_1F_1\left(\begin{array}{c}\frac{m+1}{n}\\1+\frac{m+1}{n}\end{array}\mid ix^n\right)\sim \frac{m+1}{n}\Gamma(\frac{m+1}{n})e^{i\pi(m+1)/(2n)} x^{-m+1}$ ,

logo $\int_0^\infty x^m \exp(ix^n)dx=\frac{1}{n}\Gamma(\frac{m+1}{n})e^{i\pi(m+1)/(2n)}$ ,

e em particular $\int_0^\infty\sin(x^a)\ dx = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{a}\right)\sin(\frac{\pi}{2a})}{a}$

com o lado esquerdo a convergir para a>1 e o lado direito sendo a sua extensão analítica ao plano inteiro menos onde se encontram os polos de $\Gamma(a^{-1})$ .

A transformação de Kummer da função hipergeométrica confluente é

$\int x^m \exp(ix^n)dx = V_{n,m}(x)e^{ix^n}$

com $V_{n,m}:=\frac{x^{m+1}}{m+1}\,_1F_1\left(\begin{array}{c}1\\1+\frac{m+1}{n}\end{array}\mid -ix^n\right)$ .

Zona de Fresnel

Zona de Fresnel: D é a distância entre o transmissor e o receptor; r é o raio da primeira zona de Fresnel (n=1) no ponto P. P está a uma distância d1 do transmissor, e d2 do receptor. (Imagem: Jcmcclurg).

Em óptica e comunicações de rádio (na verdade, em qualquer situação que envolva a radiação de ondas, que inclui eletrodinâmica, acústica, radiação gravitacional e sismologia), uma zona de Fresnel, nomeado a partir do físico Augustin-Jean Fresnel, é um dos (teoricamente infinitos) elipsóides concêntricos que define os volumes do padrão de radiação (geralmente) de abertura circular. As zonas de Fresnel resultam de difração por uma abertura circular. A seção transversal da primeira zona de Fresnel (mais interna) é circular. As zonas de Fresnel subsequentes são coroas circulares (em forma de donut ou rosquinha) em seção transversal, e concêntrico com o primeiro. Para maximizar o sinal do receptor, é preciso minimizar o efeito da perda de obstrução removendo obstáculos da linha de visada. Os sinais mais fortes estão na linha direta entre o transmissor e o receptor e sempre encontram-se na primeira zona de Fresnel. Se desobstruída , as ondas de rádio vão viajar em uma linha reta a partir do transmissor para o receptor. Mas se existem superfícies reflexivas ao longo do caminho , como corpos de água ou terrenos liso, as ondas de rádio refletidas essas superfícies podem chegar fora de fase (por refletir em uma superfície dentro de uma zona de Fresnel par) com os sinais que viajam diretamente e reduzir a potência do sinal recebido. Por outro lado, a reflexão (de uma superfície dentro de uma zona de Fresnel impar) pode aumentar a potência do sinal recebido se a reflexão e os sinais diretos chegam em fase. Às vezes, isto resulta na descoberta contra-intuitiva de que a redução da altura de uma antena aumenta a relação sinal-ruído. Fresnel proporcionou um meio para calcular onde as zonas estão, determinando se um obstáculo influenciará principalmente na fase ou fora de fase entre o transmissor e o receptor. Obstáculos na primeira zona de Fresnel irão criar sinais com uma defasagem de 0 a 180 graus, na segunda zona que irá ser 180 a 360 graus defasados, e assim por diante . Zonas pares têm a fase de máximo efeito de cancelamento e zonas ímpares pode realmente aumentar a potência do sinal.

Determinando o espaço livre da zona de Fresnel

Alguns exemplos de como a zona
de Fresnel pode ser obstruída.
(Imagem: Kgrr).

O conceito de apuramento zona de Fresnel pode ser usada para analisar a interferência por obstáculos próximos do caminho de um feixe de rádio. A primeira zona deve ser mantida em grande parte livre de obstruções para evitar interferir com a recepção do rádio. No entanto, alguma obstrução das zonas de Fresnel pode muitas vezes ser toleradas, como regra geral a obstrução máximo permitido é de 40%, mas a obstrução recomendada é de 20% ou menos. Para o estabelecimento de zonas de Fresnel, primeiro determinar a linha de visada, que em termos simples, é uma linha reta entre a transmissão e recepção de antenas. Agora, as zonas circundantes da linha de visada são chamadas zonas de Fresnel. A equação geral para calcular o raio da zona de Fresnel em qualquer ponto P entre as extremidades do link é o seguinte:

$F_n = \sqrt{\frac{n \lambda d_1 d_2}{d_1 + d_2}}$

sendo,

Fn = O raio da enésima zona de Fresnel em metros

d1 = A distância do ponto P para uma das antenas em metros

d2 = A distância do ponto P para a outra antena em metros

$\lambda$ = O comprimento de onda do sinal transmitido em metros

O raio da secção transversal de cada zona de Fresnel é maior no centro da linha de visada, contraindo-se para um ponto na antena em cada extremidade. Para aplicações práticas, é muitas vezes útil para saber o raio máximo da primeira zona de Fresnel. A partir da fórmula acima, as fórmulas seguintes podem ser obtidos, utilizando $d_1=d_2$ , $D=d_1+d_2$ e $\lambda =\frac{c}{f}$ . Temos agora uma maneira fácil de calcular o raio da primeira zona de Fresnel sabendo que a distância entre as duas antenas e da frequência do sinal transmitido.

No SI:

$r = 8.657 \sqrt{{D} \over f}$