sábado, 23 de janeiro de 2016

Biografia de Carl Gustav Jakob Jacobi

Carl Jacobi.
Carl Gustav Jakob Jacobi. Nasceu em Potsdam, a 10 de Dezembro de 1804, e, faleceu em Berlim, a 18 de Fevereiro de 1851. Carl Gustav Jakob Jacobi foi um matemático alemão, que fez contribuições fundamentais para funções elípticas, dinâmica, equações diferenciais e teoria dos números. Seu nome está escrito ocasionalmente como Carolus Gustavus Iacobus Iacobi em seus livros latinos, e seu primeiro nome é dado às vezes como Karl. Jacobi foi o primeiro matemático judeu a ser nomeado professor em uma universidade alemã.

Biografia

Carl Gustav Jacobi nasceu no dia 10 de Dezembro de 1804, foi o segundo filho de um próspero banqueiro. O seu primeiro professor, irmão de sua mãe, deu-lhe aulas de matemática, preparando-o para entrar no Ginásio de Potsdam em 1816. Logo Jacobi evidenciou sua “mente universal” declarada pelo reitor do ginásio quando ele o deixava em 1821 para entrar na Universidade Humboldt de Berlim.

Carreira

Poderia ter-se tornado um célebre filólogo, caso a matemática não o tivesse atraído mais fortemente. Tendo se apercebido de que o rapaz tinha gênio matemático, o professor Heinrich Bauer deixou que ele estudasse sozinho, depois de se ter ele rebelado, recusando o aprendizado da matemática através de um roteiro e uma regra. Jacobi buscou os mestres. Os trabalhos de Leonhard Euler e Joseph-Louis Lagrange ensinaram-lhe álgebra e cálculo e introduziram-no na grande teoria dos números. Seu autodidatismo propiciou seu primeiro trabalho notável - em funções elípticas - sua diretriz definitiva. Desconhecendo que Niels Henrik Abel tinha atacado as equações gerais do quinto grau, Jacobi buscou uma solução. Embora sua busca tivesse sido infrutífera, com este trabalho aprendeu muito de álgebra, imputando-lhe considerável importância como um degrau para sua educação matemática. Mas, aparentemente, não compreendeu (como o fez Abel) que tais equações não eram solucionáveis algebricamente. Jacobi tinha uma mente objetiva e nenhuma inveja ou ciúme em sua natureza generosa. Ele referiu-se a obra-prima de Niels Abel dizendo “está acima do meu louvor, assim como acima de meus trabalhos”. Permaneceu estudando em Berlim de Abril de 1821 até Maio de 1825. Durante os primeiros dois anos ele dividiu seu tempo, equitativamente, entre filosofia, filologia e matemática. Chamou a atenção sobre si de P. A. Boeckh, um renomado estudioso dos clássicos. Mas Boeckh não conseguiu convertê-lo para os estudos clássicos. Tendo decidido dar à matemática o melhor que pudesse, escreveu para seu tio Lehmann, dizendo: “A grandiosidade dos trabalhos de Euler, Lagrange e Laplace elevou o nível de exigência e compreensão de quem busca o domínio destas novas descobertas, caso não queira permanecer perambulando na superfície do conhecimento. Para dominar este colosso não pode haver descanso ou paz até que se alcance o topo e se consiga visualizar o trabalho em toda sua inteireza. Só então, quando se alcançou o espírito, ou a ideia pretendida, é possível trabalhar efetivamente para o seu acabamento em todos os seus detalhes”. A um amigo que lhe dissera ser a pesquisa científica prejudicial à saúde, respondeu: “Claro! Certamente eu, algumas vezes, pus em perigo a minha saúde pelo excesso de trabalho, mas e daí? Apenas repolhos estão livres de preocupações. E o que obtêm eles de seu perfeito bem estar?” Em Agosto de 1825 recebeu seu grau de Ph.D. pela dissertação sobre frações parciais e tópicos relacionados. Embora demonstrasse considerável engenho na manipulação das fórmulas, sua dissertação não dava nenhum sinal definitivo do soberbo talento do autor. Concomitantemente a sua prova para o grau de Ph.D. ele iniciou seu treinamento para o magistério, passando a lecionar cálculo de superfícies curvas na Universidade de Berlim, logo se tornando o mais inspirado professor de matemática do seu tempo. Parece ter sido ele o primeiro professor numa universidade que treinou seus alunos em pesquisa, através do ensino de suas últimas descobertas, deixando que os estudantes vissem a criação de um novo assunto acontecendo diante deles. Apenas alguns adquiriram a aptidão para o trabalho independente; outros para lançar-se à produção pessoal queriam inicialmente dominar toda a matéria relativa ao problema. Para estes ele dizia: “Seu pai nunca teria casado, e você não estaria aqui agora, se ele insistisse em conhecer todas as moças do mundo antes de casar-se com uma”. Em 1826 tinha assegurado o lugar de professor na Universidade de Königsberg. Em 1827 algumas pesquisas publicadas sobre a teoria dos números (relativas à reciprocidade cúbica), excitou a admiração de Carl Friedrich Gauss o que levou, pela raridade do acontecido, o Ministro de Educação a tomar conhecimento, promovendo Jacobi para um posto acima de seus colegas, o que representou um degrau importante para um jovem de vinte e três anos. Aqueles que foram ultrapassados ressentiram-se com a promoção, porém, dois anos mais tarde, quando Jacobi publicou sua obra-prima Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum (Novos fundamentos da Teoria de Funções Elípticas) eles foram os primeiros a dizer que nada mais que justiça tinha sido feita. Em 1832 morreu o pai de Jacobi. Até então ele não precisara trabalhar para viver. Oito anos depois a fortuna da família esfacelou-se. Aos 36 anos não tinha como prover a subsistência de sua mãe, também arruinada. A perda da fortuna, porém, não teve qualquer efeito em seu trabalho. Em 1842 Jacobi e Friedrich Bessel compareceram a um encontro da Associação Britânica em Manchester, onde se encontraram com o irlandês William Rowan Hamilton, do que resultou uma das maiores glórias para Jacobi que foi a continuação do trabalho de Hamilton em dinâmica e, de uma certa forma, para completar o que o irlandês tinha abandonado. No ano seguinte ele sofreu um completo estresse por excesso de trabalho. Na quarta década do século XIX, na Alemanha o avanço da ciência estava nas mãos dos nobres. Quando ficou doente, o Rei possibilitou que ele tomasse longas férias no ameno clima italiano. Depois de alguns meses em Roma e Nápoles com Carl Wilhelm Borchardt e Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Jacobi voltou a Berlim em Junho de 1844. Foi-lhe autorizado permanecer em Berlim até que sua saúde estivesse restaurada porém, não lhe foi dada à cadeira de professor na Universidade. Como membro da Academia, porém, teria autorização de fazer conferências onde quer que escolhesse. Mais tarde, tirando do seu próprio bolso, o Rei garantiu a Jacobi um substancial subsídio, podendo-se imaginar que ele continuaria preso a sua matemática. Isto não aconteceu porque, para melhorar seu sistema nervoso, seu médico aconselhou-o a meter-se em política. O honesto matemático entrou inocentemente na arena da política, como candidato pelo partido liberal, ou seja, contra o Rei de quem era pensionista. Seu consultor político fora um professor por ele postergado em sua rápida ascendência na carreira universitária. Jacobi, pensionista do rei, não poderia ser levado a sério. Foi considerado um oportunista ou um espião para os realistas. Ele refutou tais insinuações num magnífico discurso porém inútil pelas circunstâncias. Não foi eleito. O Ministro da Educação vendo em sua atividade política a evidência de que sua saúde estava suficientemente recuperada questionou-o a fim de que voltasse a Königsberg. O Rei interrompeu alguns dias depois a mesada que lhe oferecia, revoltado pela traição de que se sentiu alvo. Ninguém demonstrou qualquer simpatia por Jacobi. Este encontrou-se então sem qualquer recurso, com mulher e sete crianças para prover. Um amigo assumiu o cuidado de sua mulher e filhos enquanto Jacobi retirava-se para um pequeno quarto de hotel a fim de continuar suas pesquisas.

Últimos anos e morte

Em 1849, aos quarenta e cinco anos, era, com a exceção de Gauss, o mais famoso matemático na Europa. A Universidade de Viena sondou a possibilidade de tê-lo como professor. Joseph Johann Littrow, amigo vienense de Abel, assumiu as negociações, tendo sido feita uma generosa e definitiva oferta. Alexander von Humboldt falou com o Rei ofendido; a mesada foi restabelecida, e não foi permitido que Jacobi, o segundo maior homem da Alemanha, fosse roubado. Ele permaneceu em Berlim. Seus trabalhos abrangem a aplicação das funções elípticas à teoria dos números; com o trabalho de equações diferenciais começou uma nova era; em Álgebra, para citar apenas uma dentre muitas, inseriu a teoria de determinantes na fórmula simples, agora familiar para todo estudante do segundo ano de uma curso de álgebra; fez substanciais contribuições para a teoria da atração de Newton-Laplace-Lagrange e muitos outros. Jacobi morreu prematuramente devido a varíola.

Matriz Jacobiana


A Matriz Jacobiana (denominado do matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi) é a matriz formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de uma função vetorial. Se uma função é diferenciável num ponto, a sua derivada é dada em coordenadas pela Jacobiana, mas uma função não precisa ser diferenciável para a existência da Jacobiana; basta que as derivadas parciais existam.
 
Definição formal
 
Seja F : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m, ou seja, uma função que denominaremos "F", com domínio e imagem no espaço euclidiano n e m dimensional, respectivamente. Tal função é definida por um vetor de m componentes, sendo cada componente uma função F_i : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R} . As derivadas parciais dessas funções podem ser organizadas numa matriz m x n, que é denominada Matriz Jacobiana. Assim, a Jacobiana é definida como:

Em linguagem matemática
Em português

Matriz de m linhas e n colunas. A primeira linha representa as derivadas parciais da função em relação a todos os x (de x1 a xn). A segunda linha representa as derivadas parciais de (também em relação a todos os x), e assim por diante, até a linha de número m, que representa as derivadas parciais de em relação a todos os xs.
 

Notação

A Jacobiana é representada por J_F(x_1,\ldots ,x_n) ou \frac{\part (F_1,\ldots ,F_n)}{\part (x_1,\ldots ,x_n)}
A k-ésima linha da matriz é dada pela transposta do gradiente de F_k


 
Determinante jacobiano

O Jacobiano é definido como sendo o determinante da Jacobiana. Ele é de grande importância na mudança de variáveis em integrais múltiplas e no Teorema da Função Inversa.
 
Exemplos
 
  • Exemplo 1: Seja F(x,y)=(x^2+y^2,xy) . Aqui, F_1=x^2+y^2 e F_2=xy. A matriz jacobiana de F é:
J_F(x,y)=\begin{bmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x} & \frac{\partial F_1}{\partial y}\\ \frac{\partial F_2}{\partial x} & \frac{\partial F_2}{\partial y} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2x & 2y\\ y & x \end{bmatrix}
O determinante Jacobiano é 2(x^2-y^2) .
  • Exemplo 2: Vamos montar a Jacobiana da mudança de variáveis cartesianas para polares. A função que faz a transformação é:
\left\{ \begin{matrix} x=r\cos\theta\\
y=r\operatorname{sen}\theta \end{matrix} \right .
A Jacobiana é dada então por:
\frac{\part (x,y)}{\part (r,\theta)}=\begin{bmatrix} \cos\theta & -r\operatorname{sen}\theta\\
\operatorname{sen}\theta & r\cos\theta \end{bmatrix}
O Jacobiano é r. portanto poderá se feito de acordo com alguns métodos matemáticos
  • Exemplo 3 (mudança de variáveis em Estatística, relacionado à distribuição de Erlang): Seja (X,Y) um par aleatório absolutamente contínuo com densidade de probabilidade conjunta f_{x,y} \left ( x,y \right ). Seja também G uma função G: \mathbb{R}^2\ \rightarrow  \mathbb{R}^2 injectiva (portanto com inversa) com dois componentes G(x,y) = (u,v). Cada um destes componentes é função de duas variáveis reais, tal que
\left \{ \begin{matrix} u= & g_{1}(x,y) \\ v= & g_{2}(x,y) \end{matrix}\right. , sendo que g1 e g2 possuem derivadas parciais em relação a x e a y
Portanto, podemos definir o par aleatório (U,V)=G(X,Y). Como determinar a densidade de probabilidade conjunta do par (U,V) a partir da densidade conjunta de (X,Y)?
Como G tem inversa, podemos escrever:
\left \{ \begin{matrix} x= & h_{1}(u,v) \\ y= & h_{2}(u,v) \end{matrix}\right.
A densidade conjunta de (U,V) será: f_{U,V} (u,v) = \left | J \right |  f_{X,Y} h_{1}(u,v)h_{2}(u,v) , em que \left | J \right | representa o módulo do determinante jacobiano, isto é, o módulo de \begin{vmatrix} \frac{\partial h_{1}(u,v)}{\partial  u} & \frac{\partial h_{1}(u,v)}{\partial v} \\ \frac{\partial h_{2}(u,v)}{\partial u} & \frac{\partial h_{2}(u,v)}{\partial v} \end{vmatrix}.
Assim, digamos que (U,V) = (X+Y,X-Y). Teremos então
\left \{ \begin{matrix} u= & x+y \\ v= & x-y \end{matrix}\right. \longrightarrow \left \{ \begin{matrix} x= & {\color{Blue}u-y} \\ y= & {\color{Red}x-v} \end{matrix}\right. \longrightarrow \left \{ \begin{matrix} x= & u-({\color{Red}x-v}) \\ y= & ({\color{Blue}u-y})-v \end{matrix}\right. \longrightarrow  \left \{ \begin{matrix} x= & h_{1}(u,v)= & \frac{u+v}{2} \\ y= & h_{2}(u,v)= & \frac{u-v}{2} \end{matrix}\right.
O determinante jacobiano neste caso (chamado de jacobiano da transformação) será \begin{vmatrix} \frac{\partial h_{1}(u,v)}{\partial  u} & \frac{\partial h_{1}(u,v)}{\partial v} \\ \frac{\partial h_{2}(u,v)}{\partial u} & \frac{\partial h_{2}(u,v)}{\partial v} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{vmatrix} = \left|- \frac{1}{2} \right| . O módulo deste determinante é  \frac{1}{2} . A função densidade de probabilidade conjunta é, portanto:
f_{U,V} (u,v) = \left | J \right |  f_{X,Y} h_{1}(u,v)h_{2}(u,v) = \frac{1}{2}  f_{X,Y} \left ( \frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2} \right )
 

Aproximação linear

A Jacobiana representa a melhor aproximação linear de uma função diferenciável nas vizinhanças de um ponto. Semelhante à aproximação de funções de uma variável pela derivada, uma função vetorial F diferenciável num ponto \mathbf{x_0} pode ser aproximada por:
F(\mathbf{x})\approx F(\mathbf{x_0})+J_F(\mathbf{x_0})\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{x_0})^T
sendo \mathbf{x} um ponto próximo de \mathbf{x_0}. Essa aproximação é de grande importância no cálculo numérico, onde a Jacobiana e o seu determinante são utilizados para resolver sistemas não-lineares pelo método de Newton (ou método do Gradiente Iterativo).


Funções elípticas de Jacobi

As funções elípticas de Jacobi, introduzidas pelo matemático prussiano Carl Gustav Jakob Jacobi por volta de 1830, são um conjunto de funções elípticas e funções teta, que tem importância histórica, além de possuírem várias aplicações (como na solução da equação do pêndulo).As funções elípticas tem várias analogias com as funções trigonométricas, inclusive a notação (sn, cn, etc) tem analogia com a trigonometria (sin e cos).

História

A origem destas funções está na integral elíptica, uma classe de integrais onde o argumento a ser integrado contém a raiz quadrada de um polinômio do terceiro ou quarto grau. A solução destas integrais pode ser obtida a partir de integrais onde aparece a expressão \sqrt{1 - c^2 sin^2 \theta}\,, as integrais elípticas de primeira, segunda e terceira espécie. O nome integral elíptica deriva de que a integral elíptica de segunda espécie pode ser usada para calcular o comprimento do arco sobre uma elipse. Estas integrais foram estudadas por Adrien-Marie Legendre, porém Niels Henrik Abel e, mais tarde, Jacobi, estudaram estas integrais através da inversão do seu argumento, ou seja, eles obtiveram as funções elípticas após a inversão das integrais elípticas. As funções elípticas foram definidas a partir da integral elíptica de primeira espécie u, como sendo funções de u e do módulo k. O ângulo φ foi chamado de argumento, representado como am(u, k), e as funções elípticas como sin am(u, k), cos am(u, k) e Δ am(u, k). As expressões sin am u, cos am u e Δ am u foram simplificadas para sn, cn e dn, respectivamente.

Definição

Seja
u = F(\phi, k) = \int_0^x \frac {dz} {\sqrt{(1 - z^2)(1 - k^2 z^2)}} = \int_0^\phi \frac {d\theta} { \sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}}\,
onde k < 1 e x = \sin \phi\,; φ é a amplitude de u e é escrito como am(u, mod k)\,, ou, de forma mais simples, am(u); x = \sin \phi\,
A função elíptica sn é definida como
sn(u) = sen(φ) = x
Analogamente, temos:
cn(u) = \cos(\phi) = \sqrt{1 - x^2}\,
dn(u) = \Delta n u = \Delta \phi = \sqrt{1 - k^2 x^2}\,


Propriedades

As funções elípticas tem, em comum com as funções trigonométricas e a função exponencial complexa, o fato de serem funções periódicas. Enquanto o seno e o cosseno tem período 2 \pi\, e a função exponencial tem período 2 i \pi\,, as funções elípticas tem dois períodos, ou seja, são duplamente periódicas. Um dos períodos é real, e o outro é imaginário. Os períodos são calculados a partir da função F definida acima:
F(\phi, k) = \int_0^x \frac {dz} {\sqrt{(1 - z^2)(1 - k^2 z^2)}}\,
e dos valores K e K' :
K = F(\frac{1}{2} \pi, k)\,
K' = F(\frac{1}{2} \pi, k')\, para k' = \sqrt{1 - k^2}\,
e satisfazem:

sn(u + 4 K) = sn(u)\,
cn(u + 4 K) = cn(u)\,
dn(u + 2 K) = dn(u)\,
sn(u + 2 i K') = sn(u)\,
cn(u + 4 i K') = cn(u)\,
dn(u + 2 i K') = dn(u)\,



Identidade de Jacobi

Em matemática, a identidade de Jacobi é a propriedade que uma operação binária pode satisfazer em termos com a ordem de avaliação para a operação dada. A diferença das operações associativas, o comportamento na ordem de avaliação é importante para as operações que satisfazem a identidade de Jacobi. A identidade foi denominada em honra ao matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi.

Definição

Se é definido o comutador dos operadores A e B como:
\left[A,B\right] = AB - BA
a identidade de Jacobi é o nome para a equação seguinte:
\left[ X,\, [Y,Z]\,\right]+\left[Y,\, [Z, X]\,\right]+\left[Z,\, [X, Y]\,\right] = 0;\, \text{para todo}\,\, X, Y, Z
As álgebras de Lie são o exemplo primário de uma álgebra que satisfaz a identidade de Jacobi. Mas deve ser observado que uma álgebra pode satisfazer a identidade de Jacobi e não por ela ser anticomutativa.


Símbolo de Jacobi

O símbolo de Jacobi é uma generalização do símbolo de Legendre. Introduzido por Jacobi em 1837, e é de interesse teórico em aritmética modular e outros ramos de teoria dos números, mas seu uso principal é em teoria dos números computacional, especialmente no teste de primalidade e fatoração de inteiros; estes por sua vez, são importantes na criptografia.


Referências

https://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Gustav_Jakob_Jacobi
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_jacobiana
https://pt.wikipedia.org/wiki/Funções_elípticas_de_Jacobi
https://pt.wikipedia.org/wiki/Identidade_de_Jacobi
https://pt.wikipedia.org/wiki/Símbolo_de_Jacobi

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