sábado, 28 de novembro de 2015

Biografia de Oliver Heaviside

Oliver Heaviside
Oliver Heaviside. Nasceu em Londres, a 18 de Maio de 1850. e, faleceu em Torquay, a 3 de Fevereiro de 1925. Oliver Heaviside foi um matemático inglês. Aos 16 anos abandonou a escola para seguir o sonho de ser telegrafista. Nos tempos livres estudava eletricidade, chegando a publicar alguns artigos inspirados pelo Tratado de Eletricidade e Magnetismo de James Clerk Maxwell. Apesar dos vários contributos para o eletromagnetismo, é mais conhecido pelo estudo da análise vectorial; introduziu o cálculo operacional para resolver equações diferenciais dos circuitos, tornando-as equações algébricas facilmente resolvíveis. No entanto, o seu trabalho foi alvo de fortes críticas por falta de rigor matemático; Heaviside achava que não se devia perder tempo em demonstrações de algo que intuitivamente parecia estar certo. Resolveu equações diferenciais usando métodos cuja demonstração rigorosa iria manter ocupadas futuras gerações de matemáticos. Em 1902 postulou a existência da ionosfera, que permitia que ondas de rádio fossem transmitidas entre continentes. Uma doença infantil deixou-o surdo anos mais tarde, tendo passado os últimos 25 anos da sua vida isolado e solitário. Foi agraciado em 1922 com a Medalha Faraday.


Vida

Infância e Juventude



Oliver foi o quarto filho da família formada por Thomas Heaviside e Rachel West. O pai era um talentoso gravador em madeira, mas seu ofício já estava resistindo da concorrência das emergentes técnicas fotográficas e a família andava sempre muito escassa de dinheiro. A mãe instalou uma pequena escola para senhoritas em sua casa alugada de Camden Town para obter mais rendas. O ambiente familiar devia ser tenso e mal-humorado. A situação se complicou no caso de Oliver, porque, quando criança, sofreu de escarlatina, como consequência da qual, ficou praticamente surdo. Isto dificultou sua relação com os demais, especialmente com os outros garotos, e provavelmente constituiu a base do carácter carrancudo e retraído que demonstrou durante o resto de sua vida, embora tenha recuperado muito a audição posteriormente, durante a adolescência. Uma herança recebida em 1863 significou uma expressiva melhora econômica para a família. Os Heaviside se mudaram para uma residência melhor do mesmo bairro e Oliver pôde ir à escola, onde se destacou em ciências naturais, ganhando uma medalha nos exames de 1865. Mas sua escolarização teve que finalizar no ano seguinte. O resto de sua formação intelectual foi autodidata, sendo, ao que parece, um assíduo e ávido visitante das bibliotecas públicas. Lhe atraíam especialmente as obras científicas, e, foi assim, como ele aprofundou nos tratados de Isaac Newton e de Pierre-Simon Laplace.


Maturidade


Não podendo entrar na universidade, teve de começar a trabalhar. Em 1867 se mudou para Newcastle, onde iniciou sua vida profissional como telegrafista. Esta posição, tão decisiva para a sua carreira posteriormente, foi o resultado de circunstâncias familiares. Uma irmã mais velha de sua mãe, Emma West, havia se casado com Charles Wheatstone, co-inventor de um sistema de telégrafo com William Fothergill Cooke, que fez dele um homem rico e poderoso. Um irmão mais velho de Oliver, Arthur W. Heaviside, tornou-se assistente de seu tio, passando logo a dirigir a companhia telegráfica local de Newcastle; acabou tendo um cargo importante no Post Office. Por sua parte, Oliver começou como assistente de seu irmão e no outono de 1868, foi designado para o funcionamento do novo cabo submarino estendido entre Newcastle e Dinamarca, inicialmente como operador e logo em seguida como eletricista, nome que se dava até então aos especialistas desta área, a mais inovadora e interessante de toda a eletrotecnia. Os anos seguintes, Oliver passou nas oficinas e a bordo dos barcos encarregados da manutenção da linha, lugares privilegiados onde se faziam experiências e analisavam todos os aspectos dos novos fenômenos e problemas que continuamente se apresentavam. Durante este tempo prosseguiu estudando física por conta própria, tanto teórica como experimental. Em Maio de 1874, Oliver abandonou o seu trabalho em Newcastle e retornou para a casa de seus pais em Londres, tanto por razões de saúde (sofria uma espécie de ataques pseudoepilépticos) como por um desejo de dedicar-se exclusivamente ao estudo e à pesquisa. Oliver não voltou a ter um emprego fixo remunerado, salvo que se considere como tal escritor esporádico, que lhe proporcionava um esquálido rendimento. Recusou todas as possibilidades de emprego que seu irmão e outras pessoas lhe proporcionaram, escolhendo um estilo de vida extremadamente austera em troca da total liberdade para as suas pesquisas. "Nasci filósofo natural, não engenheiro inquieto nem 'homem prático' no sentido mercantil", se caracterizou a si mesmo ao final de sua vida. Muitas de suas contribuições teóricas tiveram importantes aplicações práticas, mas ele nunca intentou obter rendimento econômico delas (provavelmente seguindo os passos de Michael Faraday, um de seus ídolos), apesar do furor inventivo e a conseguinte solicitude de patentes próprios da época, incluindo o exemplo de seu tio Wheatstone.


Últimos anos


Depois de 1900, a atividade científica de Heaviside declinou consideravelmente em quantidade e qualidade, cessando praticamente em 1906, ainda que seu último livro se publicasse em 1912. Uma das causas fundamentais foram os problemas ocasionados por sua persistente falta de saúde. Oliver e seus pais foram morar em Setembro de 1889 com seu irmão Charles, que tinha uma loja de instrumentos musicais em Paington (Devonshire), seguindo outra das linhas de atuação familiar iniciadas por Wheatstone, que também havia inventado a sanfona (acordeão). Após o falecimento de seus pais em 1894 e 1896, Oliver se mudou em 1897 para uma casa independente no campo, próximo de Newton Abbot e não muito longe de Paington, mas a experiência não foi muito satisfatória e em 1908 voltou a viver como hóspede em Torquay, onde faleceu em 1925, depois de levar uma vida cada vez mais solitária e excêntrica.


Honrarias e prêmios


Apesar de sua vida eremítica, a obra publicada e as atividades de seus amigos influentes granjearam numerosos reconhecimentos à Heaviside, embora ele não parecia apreciar muito. Destacam os seguintes:
  • 1891 Membro da Royal Society de Londres.
  • 1899 Membro honorário da American Academy of Arts and Sciences.
  • 1905 A Universidade alemã de Göttingen lhe concede o doutorado honoris causa.
  • 1908 Membro honorário da Institution of Electrical Engineers inglesa.
  • 1918 Membro honorário do American Institute of Electrical Engineers.
  • 1921 Primeiro galardoado com a medalha Faraday da Institution of Electrical Engineers.
Os esforços e gestões de J. Perry, G. F. FitzGerald, O. Lodge e outros amigos lograram ser concedida à Heaviside uma pensão oficial de 120 libras anuais em 1896 (elevada à 220 libras em 1914), conseguindo também que este acabasse aceitando, pois dois anos antes havia recusado outra ajuda do Scientific Relief Fund da Royal Society, gestionada do mesmo modo, por considerá-la “caridade”.


Função de Heaviside


Em matemática e estatística, a função de Heaviside (ou função degrau) é uma função singular e função descontínua com valor zero quando o seu argumento é negativo e valor unitário quando o argumento é positivo. Nos casos em que o argumento é nulo seu valor assume a média dos limites laterias da função (pela esquerda e pela direita) calculados no ponto em que a abscissa vale "a". Normalmente a função é usada como uma distribuição, mas costuma-se definir:
 H(x) = \frac{1+\sgn(x)}{2} =  \begin{cases} 0,           & x < 0             \\ \frac{1}{2} , & x = 0             \\ 1,           & x > 0  \end{cases} \;\;\;\;\; (1)
sendo sgn a função sinal.
A função de Heaviside com descontinuidade em x = a é da forma:
 H(x-a)  =  \begin{cases} 0,           & x < a             \\ \frac{1}{2}, & x = a             \\ 1,           & x > a  \end{cases} \;\;\;\;\;
A função de Heavisde admite diversas representações. Em especial, como limite de funções contínuas, ver seção correspondente.


Aproximações contínuas para a função de Heaviside

 

A expressão (1) define H(x) como uma função descontínua. Em algumas aplicações, é útil partir de funções contínuas adequadas e definir H(x) como um limite. Por exemplo:
H(x) \;=\; \lim_{\epsilon \to 0} \left[ \frac{1}{2} \;+\; \frac{1}{\pi} \; \arctan \left( \frac{x}{\epsilon}\right) \right] \;\;\;\;\; (2a)
H(x) \;=\; \lim_{\epsilon \to 0^{-}} \; \frac{1}{2} \; \text{erfc} \left( \frac{x}{\epsilon}\right) \;\;\;\;\; (2b)
H(x) \;=\; \lim_{\epsilon \to 0} \left[ \frac{1}{2} \;+\; \frac{1}{\pi} \; Si \left( \frac{\pi x}{\epsilon}\right) \right] \;\;\;\;\; (2c)
H(x) \;=\; \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\epsilon} \; \text{rect} \left( \frac{u}{\epsilon}\right) du \;\;\;\;\; (2d)
H(x) \;=\; \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\epsilon} \; \text{tri} \left( \frac{u}{\epsilon} \;-\; \frac{1}{2} \right) du \;\;\;\;\; (2e)
H(x) \;=\; \lim_{\epsilon \to 0+} \left[ 1 \;-\; e^{- \left( \frac{x}{\epsilon} \right)} \right] \;\;\;\;\; (2f)
onde erfc(x) é a função erro complementar = 1 - erf(x), Si é a função seno integral, rect é a função retangular e tri(x) é a função triangular.


Relação com outras funções

Função sinal

A expressão (1) deixa clara a relação algébrica entre H(x) e sgn(x). Podemos escrever também:
 \sgn(x) \;=\; 2H(x) \;-\; 1 \;\;\;\;\; (3a)

 

Delta de Dirac

 

A distribuição (ou função generalizada) Delta de Dirac δ(x) pode ser vista informalmente como a derivada da função de passo de Heaviside. De outra maneira, ao efetuarmos a diferença entre duas funções degrau, como por exemplo H(x-(a-ε/2))-H(x-(a+ε/2)) (com ε positivo), e tendermos o valor de ε à zero, temos que o valor da diferença tende à infinito e assume o valor de Função Delta de Dirac. Nesse processo impõe-se que a área abaixo do gráfico da diferença das Heavisides seja constante e com valor unitário. Ou seja, defini-se:
 H(x) = \int_{-\infty}^{x} \delta(u) \; du \;\;\;\;\; (3b)
 \delta(x) = \frac{d}{dx} \; H(x) \;\;\;\;\; (3c)
Mais formalmente, pode-se escrever (3c) da seguinte maneira:
 \delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \; \frac{d}{dx} \; H(\epsilon,x)
com H(ε,x) dada por alguma das expressões (2a) a (2f), que são diferenciáveis em x = 0.

 

Aplicações

  • Na área de mecânica dos sólidos costuma-se representar matematicamente os carregamentos retangulares uniformes com a Função de Heaviside, entre outras funções singulares;
  • Na eletricidade usa-se do artificio oferecido pela função degrau para representar chaves que ligam e desligam.

 

Função retangular

 

A função retangular pode ser escrita como:
 \text{rect}(x) \;=\; H \left( x \;+\; \frac{1}{2} \right) \;-\; H \left( x \;-\; \frac{1}{2} \right) \;\;\;\;\; (3d)


 

Função pulso

 

Uma função importante em aplicações é a função pulso, definida por:
 p(x)  =  \begin{cases} 0,           & x < a             \\ 1,           & a < x < b             \\ 0,           & x > a  \end{cases} \;\;\;\;\;
é representada em termos da diferença de duas função de Heaviside:
 p(x)= H(x-a)-H(a-b),      a < b

 

Função rampa

 

Também chamada de aproximação linear da função de Heaviside, a utilizamos quando se torna necessário definir a transição 0- e 0+. Para isso, supomos que tal ocorre de forma linear. Definimos tal função por:
p(x) = \begin{cases} 0,           & x < -a             \\ \frac{x}{2a} +\frac{1}{2},           & -a \leq x \leq a             \\ 1,           & x > a  \end{cases} \;\;\;\;\;

 

 

Transformada de Laplace da função de Heaviside


A transformada de Laplace da função de Heaviside é obtida direto da definição. considere a ≥ 0:
\hat{H}(s-a) = \lim_{N\to\infty}\int^N_{0} \mathrm{e}^{-sx} H(x-a)\,\mathrm{d}x   = \lim_{N\to\infty}\int^N_{a} \mathrm{e}^{-sx} \,\mathrm{d}x  = \frac{e^{-as}}{s}

Se a < 0, então
\hat{H}(s-a) = \lim_{N\to\infty}\int^N_{0} \mathrm{e}^{-sx} H(x-a)\,\mathrm{d}x  = \lim_{N\to\infty}\int^N_{0} \mathrm{e}^{-sx} \,\mathrm{d}x  = \frac{1}{s}


Referências:

Nenhum comentário:

Postar um comentário

Observação: somente um membro deste blog pode postar um comentário.