sexta-feira, 23 de outubro de 2015

Biografia de Jakob Bernoulli


Jakob Bernoulli
Jakob Bernoulli. (Jacob, ou Jacques, ou Jacob I Bernoulli). Nasceu na Basileia, a 27 de Dezembro de 1654, e, faleceu, também na Basiléia, a 16 de Agosto de 1705. Jakob Bernouli foi o primeiro matemático a desenvolver o cálculo infinitesimal para além do que fora feito por Isaac Newton e Gottfried Leibniz, aplicando-o a novos problemas. Publicou a primeira integração de uma equação diferencial; deu solução ao problema dos isoperímetros, que abriu caminho ao cálculo das variações de Leonhard Euler e Joseph-Louis de Lagrange e estendeu suas principais aplicações ao cálculo das probabilidades. É considerado o "pai do cálculo exponencial". Foi professor de matemática em Basiléia, tendo sido importantíssima sua contribuição à geometria analítica, à teoria das probabilidades e ao cálculo de variações. Em 1713, depois de sua morte, foi publicado seu grande tratado sobre a teoria das probabilidades “Ars Conjectandi”, que ainda oferece interesse prático na aplicação da teoria da probabilidade no seguro e na estatística.

Desigualdade de Bernoulli

Em matemática, a desigualdade de Bernoulli afirma que:
(1+x)^n \ge 1+nx\,, sempre que x>-1 e n um número inteiro não negativo.
Esta desigualdade pode ser generalizada substituindo n por r um real maior ou igual a 1.

Demostração

Esta desigualdade pode ser provada por indução matemática, como se segue:
  • Base:
(1+x)^0 = 1 \geq 1.
  • Indução:
Pela hipótese de indução, temos:
(1+x)^n\geq 1 +nx
Multiplicado ambos os lados por (1+x) (que é um termo positivo uma vez que x>-1):
(1+x)^{n+1} \ge (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2
O termo nx^2 é positivo e portanto:
(1+x)^{n+1} \ge 1+(n+1)x

Demonstração da versão mais geral

Defina a função auxiliar f(x) por:
f(x):=(1+x)^r-(1+rx)\,
Queremos mostrar que f(x)\geq 0 quando x>-1.
Tomando derivada em x, temos:
f'(x)=r(1+x)^{r-1}-r\,
ou seja:
f'(x)=\left\{\begin{array}{rl}
<0,& -1<x<0\\
=0,& x=0\\
>0,& x>0
\end{array}\right.
Portanto, f(x) admite um mínimo global no ponto x=0, onde é nula. Assim concluímos:
f(x)\geq 0, x>-1\,
o que completa a demonstração.


Números de Bernoulli

Na matemática, os números de Bernoulli são seqüências de números racionais com profundas conexões na teoria dos números. São definidos como os coeficientes da Expansão de Taylor: \sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}x^n=\frac{x}{e^x-1}

Sequência

Valores do números de Bernoulli: B_n=
\begin{cases}
1,\;se\;n=0\\
-\frac{1}{2},\;se\;n=1\\
(-1)^{\frac{n}{2}+1}\cdot\frac{2(n)!}{(2 \pi)^{n}}\zeta(n),\; se \; n\in \{2,4,6,8, \dots\}\\
0,\;se\;n\in\{3,5,7,9, \dots\}
\end{cases}
Onde \zeta(n) é a função zeta de Riemann


Equação Diferencial de Bernoulli

A Equação diferencial de Bernoulli, cujo nome vem de Jakob Bernoulli, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:
y' + P(x)y = Q(x)y^n. (0.1)
onde n é um qualquer número real. Para n \ne 0 e n \ne 1 esta equação diferencial não é linear.
Não confundir com a Equação de Bernoulli da Mecânica de fluidos.

Desenvolvimento

Para a resolver, vamos fazer uma mudança de variável dependente que a vai transformar numa equação diferencial linear de primeira ordem.
Começamos por dividir ambos membros por y^n:
y^{-n}y' + P(x)y^{1-n} = Q(x). (0.2)
Seja agora
w = y^{1-n}
Derivando w obtemos
w' = (1 - n)y^{1-n-1}y' = (1 - n)y^{-n}y'
Multiplicando ambos membros de (0.2) por 1 - n, fica
(1 - n)y^{-n}y' + (1 - n)P(x)y^{1-n} = (1 - n)Q(x). (0.3)
Ou seja,
w' + (1 - n)P(x)w = (1 - n)Q(x). (0.4)
A última equação é uma equação diferencial linear que (supondo, como acima, P(x) e Q(x) contínuas) pode ser resolvida pelo processo anteriormente descrito, chegando-se à solução geral de (0.9), depois de se substituir w por y^{1-n}.

Exemplo

Vamos resolver a seguinte equação diferencial
\frac {dy}{dx} + \frac {1}{x}y = xy^2. (0.5)
Dividindo ambos os membros por y^2 fica
y'y^{-2} + \frac {1}{x}y^{-1} = x. (0.6)
Pondo
 w = y^{-1}.
w' = -y^{-2}y'.
A equação (0.6) é equivalente a
-y^{-2}y' - \frac {1}{x}y^{-1} = -x. (0.7)
Substituindo y por w, vem
w' - \frac {1}{x}w = -x. (0.8)
Usando a notação anterior,
P(x) = -\frac {1}{x} e Q(x) = -x.
\int_{}^{} P(x)\,dx = \int_{}^{} -\frac {1}{x}\,dx = -\ln |x| = \ln |x|^{-1}
onde
e^{\int_{}^{} P(x)\,dx} = e^{\ln |x|^{-1}} = |x|^{-1}
e
\int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x)\,dx = \int_{}^{} |x|^{-1}(-x)\,dx = \left \{ \begin{matrix} \int_{}^{} -1\,dx, & \mbox{se }x \ge 0 \\ \int_{}^{} 1\,dx, & \mbox{se }x < 0 \end{matrix} \right. = \left \{ \begin{matrix} -x & \mbox{se }x \ge 0 \\ x & \mbox{se }x < 0 \end{matrix} \right. = - |x|.
A solução geral de (0.8) é dada por
e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}w = \int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x)\,dx + C
ou seja,
|x|^{-1}w = -|x| + C. (0.9)
Para x \ne 0, (0.9) é equivalente a
w = -|x|^2 + C|x|,
ou seja, atendendo a que C é uma constante qualquer,
w = -|x|^2 + Cx.
Substituindo w por y^{-1}, vem
y^{-1} = -x^2 + Cx,
ou ainda,
y = \frac {1}{-x^2 + Cx}.

Distribuição de Bernoulli

Na área de teoria das probabilidades e estatística, a distribuição de Bernoulli, nome em homenagem ao cientista suíço Jakob Bernoulli, é a distribuição discreta de espaço amostral {0, 1}, que tem valor 1 com a probabilidade de sucesso p e valor 0 com a probabilidade de falha q=1-p.

Propriedades

Se X é uma variável aleatória com essa distribuição, teremos:
 P(X=1) = 1 - P(X=0) = 1 - q = p.\!
Um exemplo clássico de uma experiência de Bernoulli é uma jogada única de uma moeda. A moeda pode dar "coroa" com probabilidade p e "cara" com probabilidade 1 - p. A experiência é dita justa se p=0.5, indicando a origem dessa terminologia em jogos de aposta (a aposta é justa se ambos os possíveis resultados tem a mesma probabilidade).
A [função de probabilidade] f dessa distribuição é
 f(k;p) = \begin{cases} p & \text{se }k=1, \\[6pt]
1-p & \text {se }k=0.\end{cases}
Também pode ser expressado como
f(k;p) = p^k (1-p)^{1-k}\!\quad \text{para }k\in\{0,1\}.
O valor esperado de uma variável aleatória de Bernoulli X é E\left(X\right)=p, e sua variância é
\textrm{Var}\left(X\right)=p\left(1-p\right).\,
A distribuição de Bernoulli é um caso especial da distribuição Binomial, com n = 1. A curtose vai até o infinito para grandes e pequenos valores de p, mas para p = 1/2 a distribuição de Bernoulli tem um excesso de curtose mais baixo que qualquer outra distribuição de probabilidade (-2). As distribuições de Bernoulli para 0 \le p \le 1 formam uma família exponiencial. O estimador de máxima verossimilhança de p baseada em uma amostra aleatória é a média amostral.

Distribuições relacionadas

  • Se X_1, X_2, \ldots, X_n\, são n distribuições de Bernoulli independentes com o mesmo parâmetro p, então sua soma X = \Sigma X_i\, é a distribuição binomial \mbox{Binomial}(n,p)\,.
  • A distribuição categórica é a generalização da distribuição de Bernoulli para variáveis com qualquer quantidade constante de valores discretos.
  • A distribuição beta é o conjugado a priori da distribuição de Bernoulli.
  • A distribuição geométrica modela o número de experimentos de Bernoulli independentes e idênticos necessários para conseguir um sucesso.

Processo de Bernoulli

Em probabilidade, o modelo de processo de Bernoulli define uma variável aleatória x em sucesso ou fracasso, com o intuito de indicar a sua probabilidade de ocorrência. Ensaios de Bernoulli são experimentos que determinam a função de probabilidade de uma variável aleatória x, que é chamada variável aleatória de Bernoulli.

Lemniscata de Bernoulli

A Lemniscata de Bernoulli é a curva algébrica do quarto grau de equação cartesiana:
(x^2 \ + \ y^2)^2 = 2 \ a^2 \ (x^2 \ - \ y^2)
A lemniscata também pode ser descrita pelas coordenadas polares abaixo,
r^2 = a^2 \cos 2\theta\,
pela respectivas coordenadas bipolares,
rr' = \frac{a^2}{2}
ou pela equação paramétrica:
Coordenadas bipolaresx = a \cos t \sqrt{2 \cos (2t)}; \qquad y = a \sin t \sqrt{2 \cos (2t)}
A curva tem a forma similar ao numeral 8 e o símbolo de infinito (\infty). A lemniscata foi descrita primeiramente por Jakob Bernoulli em 1694 como uma modificação da elipse, que é o lugar geométrico de pontos para qual a soma das distâncias para cada um de dois focos fixos é uma constante. A Oval de Cassini, por sua vez, é o lugar de pontos para os quais o produto destas distâncias é constante. No caso onde a curva atravessa o ponto no meio caminho entre os focos, a oval é uma lemniscata de Bernoulli. Bernoulli chamou isto de lemniscus que em latim significa "faixa suspensa". A lemniscata pode ser obtida como o inverso geométrico de uma hipérbole, com o círculo de inversão centrado no centro da hipérbole (bissetriz de seus dois focos).

Derivadas

Cada derivada abaixo foi calculada usando derivações implícitas.

Com y em função de x

\frac{dy}{dx} = \begin{cases}
\mbox{infinito} & \mbox{se } y = 0 \mbox{ e } x \ne 0 \\
\pm1 & \mbox{se } y = 0 \mbox{ e } x = 0 \\
\frac{x(a^2 - 2x^2 - 2y^2)}{y(a^2 + 2x^2 + 2y^2)}  & \mbox{se } y \ne 0   
\end{cases}
\frac{d^2y}{dx^2} = \begin{cases}
\mbox{infinito} & \mbox{se } y = 0 \mbox{ e } x \ne 0 \\
0 & \mbox{se } y = 0 \mbox{ e } x = 0 \\
\frac{3a^6(y^2 - x^2)}{y^3(a^2 + 2x^2 + 2y^2)^3}  & \mbox{se } y \ne 0  
\end{cases}

Com x em função de y

\frac{dx}{dy} = \begin{cases}
\mbox{infinito} & \mbox{se } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\
\pm1 & \mbox{se } x = 0 \mbox{ e } y = 0 \\
\frac{y(a^2 + 2x^2 + 2y^2)}{x(a^2 - 2x^2 - 2y^2)}   & \mbox{caso contrario }  
\end{cases}
\frac{d^2x}{dy^2} = \begin{cases}
\mbox{infinito} & \mbox{se } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\
0 & \mbox{se } x = 0 \mbox{ e } y = 0 \\
\frac{3a^6(x^2 - y^2)}{x^3(a^2 - 2x^2 - 2y^2)^3}  & \mbox{caso contrario }  
\end{cases}

Curvatura

Quando as duas primeiras derivadas são conhecidas, a curvatura é facilmente calculada:
\kappa = \pm3(x^2 + y^2)^{1/2}a^{-2} \,
O sinal a ser escolhido deve ser de acordo com a direção de movimento ao longo da curva. A lemniscata tem a propriedade da qual a magnitude da curvatura em qualquer ponto é proporcional à distância daquele ponto da origem.

Comprimento de arco como parâmetro e funções elípticas

A determinação do comprimento de arco como parâmetro da lemniscata levou às integrais elípticas, descobertas durante o século XVIII. Por volta de 1800, essa função elíptica era estudada por Carl Friedrich Gauss. Largamente inédito na ocasião, mas foram feitas insinuações a elas nas notas de sua obra "Disquisitiones Arithmeticae".

Seção

É possível obter a curva, secionando-se um torus por meio de um plano paralelo ao eixo de revolução. A tangência do perímetro interno origina uma Lemniscata no contorno da seção.


Referências:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Jakob_Bernoulli 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Desigualdade_de_Bernoulli 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Números_de_Bernoulli 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equação_diferencial_de_Bernoulli 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribuição_de_Bernoulli 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Processo_de_Bernoulli
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lemniscata_de_Bernoulli  

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