terça-feira, 20 de outubro de 2015

Biografia de Brook Taylor


Brook Taylor
Brook Taylor. Nasceu em Londres, a 18 de Agosto de 1685, e, faleceu, também em Londres, a 30 de Novembro de 1731. Brook Taylor foi um matemático britânico. Taylor teve um trabalho publicado pelo seu neto após sua morte em 1793, intitulado Contemplatio Philosophica. Vários trabalhos seus foram publicados em Phil. Trans., vols. xxvii. a xxxii., incluindo relatórios sobre trabalhos em magnetismo e atração capilar. Publicou em 1719 o livro New Principles of Linear Perspective, uma versão melhorada do seu trabalho pioneiro intitulado Linear Perspective de 1715. Obra que foi revisada por John Colson em 1749 e reeditada em 1811. Taylor realizou a primeira investigação satisfatória sobre refração astronômica. Taylor é também muito conhecido pelo seu trabalho sobre as séries que hoje recebem seu nome, publicado em 1715 em Methodus incrementorum directa et inversa.


Perspectiva com dois pontos de fuga
Processo da perspectiva do arquiteto.
(Imagem: Matteo Carcassi).
A perspectiva com dois pontos de fuga é um processo de projeção central, instituído a partir da publicação do livro Linear Perspective, do matemático inglês Brook Taylor, em 1715. Em 1719, Taylor lançou uma versão melhorada do trabalho em New Principles of Linear Perspective. A perspectiva central, com dois pontos de fuga, é muito utilizada nos desenhos de arquitetura e design de interiores, cujas representações têm grandes dimensões e o efeito de diminuição por afastamento confere boa noção do que foi projetado. O processo dos arquitetos, é considerado o mais prático, por ser uma mistura do processo das visuais com o processo das dominantes. Em todos eles, os pontos de fuga estão situados na linha do horizonte, que tem origem da interseção entre o plano de visão (que contém o observador) e o quadro.


Série de Taylor
Em matemática, uma série de Taylor é uma série de funções da seguinte forma:

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n\quad\mbox{na qual }  a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}.
Dito de outra maneira, uma série de Taylor é uma expansão de uma função analítica f(x) na vizinhança de um ponto x=a . Uma série de Taylor de uma dimensão é uma expansão de uma função real f(x) ao redor do ponto em que x assume um valor qualquer (digamos, "a"). Neste caso, escrevemos a série da seguinte maneira:

f(x)=f(a) \left ( x-a \right )^0+ \frac{f'(a) \left (x-a \right)^1}{1!}+\frac{f''(a) \left ( x-a \right )^2}{2!}+...+\frac{f^{(n)}(a) \left ( x-a \right )^n}{n!}
A constante a é o centro da série que pode ser encarada como uma função real ou complexa. Se a = 0, a série também é chamada de Série de Maclaurin (de Colin Maclaurin). Estas séries devem o seu nome a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet (Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat) atribuía estas séries a Taylor e Jean le Rond d'Alembert. O nome Série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l'Huillier (Simon Antoine Jean L'Huilier).

Convergência


Toda série de Taylor possui um raio de convergência R com a propriedade que a série converge uniformemente em cada bola (circunferência) |x-a|\leq r<R .
A fórmula de Hadamard fornece o valor deste raio de convergência:

R^{-1}=\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}
O fato de a série de Taylor convergir não garante que ela convergirá para o valor da função f(x); o exemplo clássico desta patologia é a função definida por:

f(x)=\begin{cases}\exp(-1/x)&\text{se }x>0,\\ 0&\text{se }x\le0,\end{cases}
cuja série de Taylor é:

f(x) = 0 + 0 x + 0 x^2 + \ldots

Série de Taylor associada a uma função

A série de Taylor associada a uma função infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto ]ar, a + r[ é a série de potências dada por:

f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}.
Onde, n! é o fatorial de n e f (n)(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a.
Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns



Função exponencial e logaritmo natural:

\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ para todo } x
\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1
Série geométrica:

\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1
Teorema binomial:

(1+x)^\alpha = \sum^{\alpha}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ para todo } \left| x \right| < 1\quad\mbox{ e todo complexo } \alpha
Funções trigonométricas:

\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para todo } x
\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ para todo } x
\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad =  x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + ..\mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
onde Bs são números de Bernoulli.
\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1
\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1
Funções hiperbólicas:

\sinh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ para todo } x
\cosh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para todo } x
\tanh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ para } \left|x\right| < \frac{\pi}{2}
\mathrm{arcsenh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1
\mathrm{arctanh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1
Função W de Lambert:

W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < \frac{1}{\mathrm{e}}

Série de Taylor em várias variáveis

A série de Taylor pode também ser definida para funções de  \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} .
Nesse caso, tem-se que a série de Taylor de f em torno do ponto X_0 = ( x_1^0, \cdots, x_n^0 ) é dada por:
f ( x_1, \cdots, x_n ) = \sum\limits_{k\ge0} \frac{1}{k!} \left( \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(X_0) ( x_i - x_i^0 )\right)^k,
onde  \left (\frac{\partial f}{\partial x_i}(X_0)\right)^k denota \frac{\partial^k f}{\partial x_i^k}(X_0).
Ou seja, tem-se:
 \left( \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} (X_0) ( x_i - x_i^0 )\right)^k = \sum\limits_{\alpha _i \in \mathbb{N}, \sum\limits_{i = 1}^{n} \alpha_i = k} \left( \frac{k!}{\alpha_1 ! \cdots \alpha_n !} \cdot \frac{\partial^k f}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_n^{\alpha_n} } (X_0) \cdot ( x_1 - x_1^0)^{\alpha_1} \cdots (x_n-x_n^0)^{\alpha_n}  \right).
No caso particular n = 2 , X_0 = (x_0, y_0):
f (x, y ) = \sum\limits_{k\ge0} \frac{1}{k!} \sum\limits_{i=0}^k \frac{k!}{i! (k-i)!} \cdot \frac{\partial^i f}{\partial x^i} (X_0) \cdot \frac{\partial^{k-i} f}{\partial y^{k-i}}(X_0) \cdot (x-x_0)^i \cdot (y-y_0)^{k-i}.


Teorema de Taylor

Em cálculo, o Teorema de Taylor, recebe seu nome do matemático britânico Brook Taylor, quem o enunciou em 1712. Este teorema permite aproximar uma função derivável na vizinhança reduzida em torno de um ponto a: E (a, d) mediante um polinômio cujos coeficientes dependem das derivadas da função nesse ponto. Em termos matemáticos: Se ≥ 0 é um inteiro e uma função que é derivável vezes no intervalo fechado [ , ] e n+1 no intervalo aberto ] , [, então, deduz-se que:
  f(x) = f(a)  + \frac{f'(a)}{1!}(x - a)  + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2  + \cdots  + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n  + R
f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + R
Onde, \ n! denota o fatorial de \ n , e \ R é o resto, termo que depende de \ x e é pequeno se \ x está próximo ao ponto \ a . Existem duas expressões para \ R que referem-se à continuação:

  R = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}
onde \ a e \ x , pertencem aos números reais, \ n aos inteiros e \ \xi é um número real entre \ a e \ x .

  R = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, dt
Se \ R é expresso da primeira forma, é denominado Termo complementar de Lagrange, dado que o Teorema de Taylor enuncia-se como uma generalização do Teorema do valor médio ou Teorema de Lagrange, enquanto que a segunda expressão de R mostra ao teorema como uma generalização do Teorema fundamental do cálculo integral. Para algumas funções , pode-se provar que o resto, , aproxima-se de zero quando aproxima-se do ∞; tais funções podem ser expressas como séries de Taylor em uma vizinhança reduzida ao redor de um ponto e são denominadas funções analíticas. O teorema de Taylor com expresso da segunda forma é também válido se a função tem números complexos ou valores vetoriais. Além disso, existe uma variação do teorema de Taylor para funções com múltiplas variáveis.


Teorema de Taylor para várias variáveis


O Teorema de Taylor pode ser generalizado para o caso de várias variáveis da seguinte forma: seja B uma bola em RN de centro a, e f uma função de valores reais definida no fecho \bar{B} , possuindo n+1 derivadas parciais contínuas em todos os pontos. O teorema de Taylor afirma que para qualquer x\in B , temos

f(x)=\sum_{|\alpha|=0}^n\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^\alpha f(a)}{\partial x^\alpha}(x-a)^\alpha+\sum_{|\alpha|=n+1}R_{\alpha}(x)(x-a)^\alpha
onde o somatório é feito sobre os multi-índices α (onde se utiliza a notação multi-índice nessa fórmula).
O termo restante satisfaz a desigualdade

|R_{\alpha}(x)|\le\sup_{y\in\bar{B} }\left|\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^\alpha f(y)}{\partial x^\alpha}\right|
para todo α onde |α|=n + 1. Tal qual no caso de uma variável, os termos de resto podem ser expressos explicitamente.

Referências

 

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