segunda-feira, 28 de setembro de 2015

Transformada de Legendre

A transformada de Legendre

Descrição

Para a compreensão da transformação de Legendre ir-se-á considerar aqui a interpretação geométrica da Transformada de Legendre, e por comodidade mas sem perda de generalidade, considerar-se-á também uma função  Y_{(X)} dependente de apenas uma variável independente, X.
Sendo  P = \frac {\part {Y_{(X)}}}{\part x} = \frac { d{Y_{(X)}}}{dx} no presente caso, à primeira vista pode parecer que para se obter uma função  Y_{(P)} onde P e não X desempenha o papel de variável independente bastaria eliminar-se X em  Y_{(X)} mediante a relação estabelecida entre P e X por  P =  \frac { d{Y_{(X)}}}{dx} . Um reflexão um pouco mais aguçada, entretanto, mostrará que neste processo perde-se informação associada à curva inicial visto que, uma vez conhecido  Y_{(P)} , não se pode inverter o processo de forma a se obter novamente de forma unívoca a função inicial  Y_{(X)} . Na transformação proposta a informação relativa à inclinação associada a um dado ponto da curva inicial  Y_{(X)} é preservada para cada ponto da curva, mas a informação sobre qual é exatamente este ponto X, ou seja, a informação de onde a reta tangente em X corta o eixo Y, não. Assim, apesar de ser possível se reconstruir o "formato" da curva inicial  Y_{(X)} partindo-se de  Y_{(P)} , a determinação da distância exata desta curva ao eixo coordenado Y no gráfico não será possível, podendo a curva que se obtém da reconstrução transladar livremente na horizontal; a informação da posição correta desta se perde na transformação inicial, conforme proposta. A solução para o problema deve ser obtida partindo-se da observação de que qualquer equação  Y_{(P)} que permita construir a família de retas tangentes a uma dada curva - e não apenas conhecer a inclinação de cada reta tangente em questão - automaticamente determina a própria curva de forma tão boa quanto o faz a equação  Y_{(X)} da curva. Para tal, considere a reta tangente à curva  Y_{(X)} no ponto específico (X,Y) cuja inclinação é P (ver figura). É possível identificar o ponto  \psi onde esta reta intercepta o eixo Y e perceber que, da definição de inclinação de uma reta:  P = \frac {\Delta Y}{\Delta X} = \frac {Y - \psi}{X-0}
donde tem-se
 \psi = Y - PX
Como as expressões  Y_{(X)} e  P = P_{(X)} são conhecidas, uma simples álgebra matemática permite a eliminação de X e Y em favor de P e  \psi na equação acima, o que fornece a procurada relação  \psi = \psi_{(P)} . Esta relação claramente permite a reconstrução de cada uma das retas tangentes com precisão, pois fornecendo-se o valor da inclinação P de uma delas, sabe-se com clareza, então, o ponto  \psi onde esta reta deve interceptar o eixo Y. Para recuperar-se a equação original  Y_{(X)} partindo-se da equação  \psi_{(P)} , basta considerar que a Transformada de Legendre é simétrica, exceto por um sinal de menos na equação de transformação, à sua inversa. Assim, à parte um sinal de menos a se considerar, sendo T a transformação de Legendre, aplicá-la duas vezes em sequência fornecerá a mesma função inicial (T² = 1).
Em resumo tem-se:

A transformada de Legendre:  Y_{(X)} <-> \psi_{(P)}
Y=Y_{(X)}  \Psi = \Psi_{(P)}
P=\frac {\part Y_{(X)}}{\part X} -X=\frac {\part \psi_{(P)}}{\part P}
Determinar  X=X_{(P)} e Y=Y_{(P)} Determinar  P=P_{(X)} e \Psi=\Psi_{(X)}
\Psi = -PX + Y  Y = XP + \Psi
Eliminação de X e Y fornece \Psi = \Psi_{(P)} Eliminação de P e \Psi fornece  Y=Y_{(X)}
\Psi = \Psi_{(P)}  Y=Y_{(X)}

 

Ao rigor da Matemática

Definições

Em matemática, a Transformada de Legendre, em homenagem a Adrien-Marie Legendre, é uma operação que transforma uma função real de variáveis reais em outra. A transformada de Legendre de uma função ƒ é a função ƒ definida por:
f^\star(p) = \max_x\bigl(px-f(x)\bigr).
Se ƒ é diferenciável, então ƒ(p) pode ser interpretado como o negativo do intercepto em Y gerado por uma reta de inclinação particular p quando esta encontre-se tangente ao gráfico de ƒ. Em particular, para o valor de x associado ao máximo anterior tem-se a propriedade:
f^\prime(x) = p.
Isto é, a derivada da função ƒ torna-se o argumento da função ƒ. Em particular, se ƒ é convexa (ou côncava para cima), então ƒ satisfaz a definição de um funcional.
f^\star(f'(x)) = x f'(x) - f(x).
A Transformada de Legendre é sua própria inversa. Da mesma forma que as transformadas integrais, a Transformada de Legendre pega uma função ƒ(x) e fornece uma função de uma variável diferente p. Entretanto, enquanto as transformadas integrais consistem em integrais com um núcleo, a transformada Legendre usa o processo de maximização como processo de transformação. A transformada de Legendre é especialmente "bem-comportada" se ƒ(x) é uma função convexa. A Transformada de Legendre é uma aplicação da relação de dualidade entre pontos e linhas. A função especificada por f(x) pode ser igualmente bem representada pelo conjunto de pontos (x, y), ou pelo conjunto de retas tangentes especificadas pelos valores de suas inclinações e pelos seus correspondentes interceptos no eixo coordenado Y. A transformada de Legendre pode ser generalizada para fornecer a Transformada de Legendre-Fenchel. A definição de Transformada de Legendre pode ser mais explícita. Para maximizar px-f(x) em relação a x, faz-se a sua derivada igual a zero:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(px-f(x) \right) = p-{\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x} = 0. \quad \quad (1)
Então a expressão é maximizada quando:
p = {\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x}. \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ (2)
Quando f é convexa, isto é seguramente um máximo porque a segunda derivada é negativa:
{\mathrm{d}^2 \over \mathrm{d}x^2}(xp-f(x)) = -{\mathrm{d}^2f(x) \over \mathrm{d}x^2} < 0,
Em um próximo passo inverte-se (2) para obter-se x como função de p e leva-se o resultado (1) , o que fornece uma forma mais prática para o uso,
f^\star(p) = p \,\, x(p) - f(x(p)).
Esta definição fornece o processo convencional para se calcular a transformada de Legendre de f(x): encontre p = {df \over dx}, inverta para x e substitua o resultado em xp-f(x). Esta definição torna clara a seguinte interpretação: a Transformada de Legendre produz uma nova função, na qual a variável independente x é substituída por p = {df \over dx}, o qual é a derivada da função original em respeito a x.

Consideração importante

Há ainda uma terceira definição para Transformada de Legendre: f e f^\star são ditas transformadas de Legendre uma da outra se suas primeiras derivadas são funções inversas uma da outra:
Df = \left( Df^\star \right)^{-1}.
Pode-se ver isto através do cálculo da derivada de f^\star:
{df^\star(p) \over dp} = {d \over dp}(xp-f(x)) = x + p {dx \over dp} - {df \over dx} {dx \over dp} = x.
Combinando-se esta equação com a condição de maximização ter-se-á como resultado o seguinte par de equações recíprocas:
p = {df \over dx}(x),
x = {df^\star \over dp}(p).
Vê-se que Df e Df^\star são inversas, conforme prometido. Elas são unívocas a menos de uma constante aditiva que é fixada pelo requerimento adicional de que:
f(x) + f^\star(p) = x\,p.
embora em alguns casos, a exemplo explicito, na termodinâmica e mecânica clássica, um requerimento não padronizado seja utilizado:
f(x) - f^\star(p) = x\,p.
O último requisito foi o utilizado em todas as demais seções deste artigo, embora o rigor matemático solicite o primeiro: ao rigor da matemática a Transformada de Legendre é exatamente a sua própria inversa, e encontra-se assim diretamente relacionada à Integração por partes.

Exemplos

Com uma variável

A exemplo, aplicar-se-á a transformada de Legendre à função Y_{(X)}=X^2
Tem-se, seguindo-se os passos da tabela anterior:
Da linha 2:
P=\frac {\part Y_{(X)}}{\part X} = 2X
Logo, para a linha 3:  X = \frac {p}{2}
e  Y = X^2 = \left(\frac {p}{2}\right)^2
Da linha 4:  \Psi = -PX + Y
Eliminando-se X e Y:
 \Psi = -P\left(\frac{P}{2}\right) + \left(\frac{P}{2}\right)^2
resulta em:
 \Psi = \frac{-P^2}{4}
Assim, a Transformada de Legendre para Y_{(X)}=X^2 é  \Psi_{(P)} = \frac{-P^2}{4}
A transformação inversa ficará a cargo do leitor.

Com duas ou mais variáveis

A título de ilustração calcular-se-á a energia livre de Helmholtz  F_{(T,V,N)} para um gás ideal partindo-se da equação fundamental para a energia interna  U_{(S,V,N)} .
Conforme antes apresentado (e mantidas as mesmas ressalvas), para um gás monoatômico ideal constituído por N partículas confinadas em um volume V e com uma entropia interna S:
 U_{(S,V,N)} = N \left(\frac {N}{V}\right)^{\frac{2}{3}} e^{\frac{2}{3} \left(\frac {S}{Nk_B} -c\right)}
da qual busca-se a energia de Helmholtz F, a ser calculada como:
 F = U - TS
mediante substituição da variável S pela sua respectiva conjugada, T.
Pelo formalismo termodinâmico tem-se que:
 T = \left(\frac {\part U_{(S,V,N)}}{\part S}\right)_{V,N}
onde os índices V e N enfatizam que as grandezas volume V e quantidade de partículas N devem ser tratadas como constantes na derivada parcial. Procedendo-se o cálculo da derivada ter-se-á:
 T = \left(\frac {\part U_{(S,V,N)}}{\part S}\right)_{V,N} = \frac {2}{3k_B} \left(\frac {N}{V}\right)^{\frac{2}{3}} e^{\frac{2}{3}\left(\frac{S}{Nk_B}-c\right)}
Isolando-se a entropia como função da temperatura e demais grandezas ter-se-á:
 S = \frac {3Nk_B}{2} \ln\left[\frac {3}{2} k_BT\left(\frac{V}{N}\right)^{\frac {2}{3}}\right] + cNk_B
a ser substituída em
 F = U-TS = N \left(\frac {N}{V}\right)^{\frac{2}{3}} e^{\frac{2}{3} \left(\frac {S}{Nk_B} -c\right)} - TS
o que resulta em:
 F = N \left(\frac {N}{V}\right)^{\frac{2}{3}} e^{\frac{2}{3} \left(\frac {\frac {3Nk_B}{2} \ln\left[\frac {3}{2} k_BT\left(\frac{V}{N}\right)^{\frac {2}{3}}\right] + cNk_B}{Nk_B} -c\right)} - T\left(\frac {3Nk_B}{2} \ln\left[\frac {3}{2} k_BT\left(\frac{V}{N}\right)^{\frac {2}{3}}\right] + cNk_B\right)
Uma simples inspeção na equação anterior, mesmo sem simplificá-la, permite a conclusão de que a função F já encontra-se dependente apenas das variáveis T, V e N, conforme pretendido.
Procendo com os cálculos, ter-se-á:
 F = N \left(\frac {N}{V}\right)^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{2} k_BT \left(\frac {V}{N}\right)^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} Nk_BT \ln\left[\frac{3}{2} k_BT \left(\frac {V}{N}\right)^{\frac{2}{3}}\right] - cNk_BT
o que, com mais algumas simplificações, resulta em:
 F_{(T,V,N)} = Nk_BT \ln\left(\frac{N}{V}\right) - \frac{3}{2}Nk_BT \ln\left(\frac{3k_BT}{2}\right) + Nk_BT \left(\frac{3}{2}-c\right)
que é a Energia Livre de Helmholtz para um gás ideal, uma equação fundamental com exatamente as mesmas informações contidas na equação original para a energia interna.

Novamente termodinâmica, e mecânica clássica

Termodinâmica: tabelas de transformadas

No contexto da termodinâmica, dentre todas as possíveis transformadas de Legendre, as seguintes são particularmente muito frequêntes e importantes:
Transformadas de Legendre na Termodinâmica - Formalismo da Energia - Partindo-se de  U_{(S,V,N)} tem-se:
U=U_{(S,V,N_1,N_2...)} U=U_{(S,V,N_1,N_2...)} H=H_{(S,P,N_1,N_2...)} F = F_{(T,V,N_1,N_2...)}
T=\frac {\part U_{(S,V,N_1,N_2...)}}{\part S} -P=\frac {\part U_{(S,V,N_1,N_2...)}}{\part V}  T=\frac {\part H_{(S,P,N_1,N_2...)}}{\part S} \mu_i =\frac {\part F_{(T,V,N_1,N_2...)}}{\part N_i}
Determinar  S=S_{(T,V,N_1,N_2...)} e U=U_{(T,V,N_1,N_2...)} Determinar  V=V_{(S,P,N_1,N_2...)} e U=U_{(S,P,N_1,N_2...)} Determinar  S=S_{(T,P,N_1,N_2...)} e  H=H_{(T,P,N_1,N_2...)} Determinar  F=F_{(T,V,\mu_1,\mu_2...)} e N_i=N_{i(T,V,\mu_1,\mu_2...)}
F = U - TS  H = U + PV  G = H - TS C = F - \Sigma \mu_iN_i
Eliminação de U e S fornece: Eliminação de U e V fornece: Eliminação de H e S fornece: Eliminação de F e N_i fornece:
Energia Livre de Helmholtz F Entalpia H Energia livre de Gibbs G Grande Potencial Canônico C
F = F_{(T,V,N_1,N_2...)}  H=H_{(S,P, N_1,N_2...)}  G=G_{(T,P, N_1,N_2...)}  C=C_{(T,V,\mu_1,\mu_2...)}
Transformadas de Legendre em Termodinâmica - Formalismo da Energia - Para chegar-se a  U_{(S,V,N)} tem-se:
F = F_{(T,V,N_1,N_2...)}  H=H_{(S,P, N_1,N_2...)}  G=G_{(T,P, N_1,N_2...)} C = C_{(T,V,\mu_1,\mu_2...)}
 -S =\frac {\part F_{(T,V,N_1,N_2...)}}{\part T} V=\frac {\part H_{(S,P,N_1,N_2...)}}{\part P}  -S=\frac {\part G_{(T,P,N_1,N_2...)}}{\part T} -N_i =\frac {\part C_{(T,V,\mu_1,\mu_2...)}}{\part \mu_i}
Determinar  T=T_{(S,V,N_1,N_2...)} e F=F_{(S,V,N_1,N_2...)} Determinar  P=P_{(S,V,N_1,N_2...)} e H=H_{(S,P,N_1,N_2...)} Determinar  G=G_{(S,P,N_1,N_2...)} e  T=T_{(S,P,N_1,N_2...)} Determinar  C=C_{(T,V,N_1,N_2...)} e  \mu_i = \mu_{i(T,V,N_1,N_2...)}
U = F + TS  U = H - PV  H = G + TS  F = F + \Sigma \mu N_i
Eliminação de T e F fornece: Eliminação de P e H fornece: Eliminação de G e T fornece: Eliminação de C e \mu_i fornece:
Energia Interna U Energia Interna U Entalpia H Energia Livre de Helmhotz F
U=U_{(S,V,N_1,N_2...)} U=U_{(S,V,N_1,N_2...)} H=H_{(S,P,N_1,N_2...)} F = F_{(T,V,N_1,N_2...)}

 

 

Lagrangianas e Hamiltonianos

No contexto da mecânica clássica o princípio de Lagrange garante que uma função particular, a Lagrangiana do sistema, caracteriza-o completamente no que se refira à sua dinâmica. A Lagrangiana é uma função de 2r variáveis, r coordenadas generalizadas e r velocidades generalizadas, e desempenha em mecânica, de forma similar ao de  S_{(U,V,N)} na termodinâmica, o papel de equação fundamental para a dinâmica:
 L = L_{(v_1,v_2,...,v_r,q_1,q_2,...,q_r)}
Sendo uma equação fundamental, aplicando-se o formalismo da mecânica Lagrangiana pode-se então chegar às equações diferenciais e posteriormente às equações horárias que descrevem toda a dinâmica do sistema em questão. A transformada de Legendre aplica-se também à Lagrangiana. Neste contexto, o momento generalizado  P_k conjugado à correspondente velocidade  v_k é definido como a deriva parcial da lagrangiana em relação à respectiva velocidade v_k (k<=r):
 P_k = \frac {\part L_{(v_1,v_2,...,v_r,q_1,q_2,...,q_r)}} {\part v_k}
Caso deseje-se substituir como variáveis independentes todas as velocidades pelos correspondentes momentos, devem-se fazer Transformadas de Legendre em relação a todas as velocidades. Assim, introduz-se uma nova função, chamada Hamiltoniano, definida por:
 (-H) = L - \Sigma_1^r{P_k v_k}
Um novo formalismo dinâmico, a mecânica hamiltoniana, pode então ser empregada em termos da nova equação fundamental  H_{(P_1,P_2,...P_r,q_1,q_2,...,q_r)}
As hamiltonianas são particularmente importantes no estudo da mecânica quântica.

Exemplo:

Oscilador harmônico simples
ideal. O estudo deste sistema
pode ser feito através do 

conhecimentode sua Lagrangiana ou 
de seu Hamiltoniano. Conhecida 
um destas funções,obtém-se 
facilmente a outra através
da Transformada de Legendre.
Inicialmente determinar-se-á a Lagrangiana e posteriormente o Hamiltoniano para um oscilador harmônico unidimensional constituído de uma massa presa em uma das extremidades de a uma mola e apoiada em uma mesa sem atrito. A Lagrangiana do sistema é definida no contexto da mecânica lagrangiana como a diferença entre a energia cinética T e a energia potencial U do sistema, o que para este presente caso resulta, considerado que só há energia potencial elástica no sistema:
 L_{(x,\dot{x})} = T - U  = \frac {1}{2}m \dot{x}^2-\frac {1}{2}kx^2
Nesta equação,  \dot{x} representa a velocidade da partícula associada à coordenada x. A partir desta equação fundamental pode-se, de posse do formalismo da mecânica lagrangiana e do Princípio de Lagrange, determinar a equação de movimento para a massa. Para fins de comparação das soluções, a solução no formalismo lagrangiano é apresentado abaixo, partindo-se para tal do Princípio de Lagrange que afirma, sendo
L = L_{(x_1,x_2,...,x_n, \dot{x_1},\dot{x_2},...,\dot{x_n})} tem-se, com i=1,2,...
que:
 \frac {\part L}{\part x_i} - \frac {d}{dt} \frac {\part L}{\part \dot{x_i}} = 0
Para o problema em questão:
\frac{\part L}{\part x} = -kx
\frac{\part L }{\part \dot{x}}= m \dot {x}
\frac {d}{dt} \left(\frac {\part L}{\part \dot{x}}\right) = m\ddot{x}
O que, substituído na equação para o Princípio de Lagrange, fornece:
 m \ddot {x}+kx = 0 , que é a equação diferencial
para o sistema em estudo.

A solução desta equação diferencial leva a uma função horária cossenoidal para o movimento da massa no oscilador harmônico simples considerado (para a solução, consulte o artigo dedicado).
 X(t) = A cos (kx-\omega t + \phi)
onde  \omega = \left(\frac {k}{m}\right)^ \frac {1}{2}
Procura-se agora chegar a uma mesma solução através do formalismo da mecânica hamiltoniana.
O Hamiltoniano para o sistema pode ser obtida através da Transformada de Legendre aplicada à Lagrangiana, conforme descrito anteriormente.
Seguindo-se os passos prescritos, o momento generalizado associado à velocidade  \dot{x} é:
 P = \frac {\part L_{(x, \dot{x})}}{\part \dot{x}} = m \dot{x}
de onde, isolando-se  \dot{x}
 \dot{x} = \frac {P}{m}
Determinando-se o Hamiltoniano H através de
(-H) = L - P \dot{x}
tem-se, já eliminando-se  \dot{x} em favor de P:
 (-H) = \frac {1}{2}m \left(\frac{P}{m}\right)^2-\frac {1}{2}kx^2 - P \left(\frac {P}{m}\right)
Resolvendo, chega-se ao Hamiltoniano do sistema, uma equação fundamental que contém igualmente todas as informações necessárias sobre a dinâmica do sistema:
 H_{(P,x)} = \frac {P^2}{2m} + \frac {1}{2}kx^2
Aplicar-se-á agora o formalismo da mecânica hamiltoniana a fim de se comparar os resultados.
As equações diferenciais de movimento no formalismo de Hamilton são, já adaptadas ao problema unidimensional com variáveis x e P (fez-se q=x para tal):
 \dot{x} = \frac {\part H}{\part P} = P/m
 - \dot{P} = \frac {\part H}{\part x} =  kx
Da primeira tem-se:
 P = m \dot{x} donde
 \dot {P} = m \ddot {x} para um sistema com massa constante.
Substituindo na segunda:
 -\dot{P} =  kx  = - m \ddot {x}
e por fim
 kx  + m \ddot {x} = 0
que é a mesma equação diferencial antes obtida pelo formalismo lagrangiano, o que leva à mesma solução já apresentada, obviamente. 

Referências
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Legendre#A_transformada_de_Legendre
 

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