terça-feira, 29 de setembro de 2015

Braquistócrona


Experimento no Museu Estadual da
Técnica e Trabalho, Mannheim.
Braquistócrona é a trajetória de uma partícula que, sujeita a um campo gravitacional constante, sem atrito e com velocidade inicial nula, se desloca entre dois pontos no menor intervalo de tempo. Note-se que a questão não é qual o percurso mais curto entre os dois pontos, cuja resposta nas condições dadas é, obviamente, a reta que os une, mas sim, qual trajetória é percorrida no menor tempo.

Origem da palavra

Esta palavra vem do grego brakhisto (o mais curto) e chronos (tempo).

História

Braquistócrona
O problema começou por ser publicado na Acta Eruditorum de Leipzig, de Junho de 1696, onde Johann Bernoulli anunciava possuir uma solução e desafiava os cientistas para, num prazo de seis meses, fazerem o mesmo. Em Janeiro de 1697 publica uma nova proclamação anunciando que apenas Gottfried Leibniz lhe comunicara ter chegado à solução, mas pedia um adiamento do prazo até à Páscoa para uma maior divulgação da questão junto do meio científico, o que terá sido aceite. Acabariam por ser apresentadas cinco soluções nas Actas de 1697: a do próprio, a do seu tio Jakob, a de Gottfried Leibniz, a de Guillaume François Antoine, Marquês de l'Hôpital e uma sob anonimato (que seria a de Isaac Newton, como este veio a reconhecer mais tarde). Ao contrário do que nossa intuição possa sugerir, o percurso mais rápido de uma esfera (por exemplo) ao longo de uma calha que una dois pontos a diferentes alturas não é uma linha reta. Esse menor tempo é obtido se a bola percorrer uma linha em forma de ciclóide.

Demonstração por Bernoulli

Pelo Princípio de Fermat o caminho mais curto entre dois pontos é o que segue um raio de luz. A curva Braquistócrona corresponderá assim ao trajeto seguido pela luz num meio em que a velocidade aumento segunda uma aceleração constante (a força da gravidade g). A lei da conservação de energia permite expressar a velocidade de um corpo submetido à atração terrestre pela fórmula:
v=\sqrt{2gh},
onde h representa a perda de altitude em relação ao ponto de partida. De notar que não depende do ponto de partida horizontal.
A lei da refração indica que um raio luminoso ao longo da sua trajetória obedece à regra:

\frac{sen{\theta}}{v}=K,
onde \theta representa o ângulo em relação à vertical e K uma constante. Inserindo nesta fórmula a expressão da velocidade acima, tiram-se de imediato duas conclusões:

1- No ponto de partida, visto que a velocidade é nula, o ângulo também é nulo. Logo a curva braquistócrona é tangente à vertical na origem.
2- A velocidade é limitada, pois o seno não pode ser superior a 1. Esta velocidade máxima á atingida quando a partícula (ou o raio) passa pela horizontal.
Sem prejudicar a generalidade do problema, supõe-se que a partícula parta do ponto de coordenadas (0,0) e que a velocidade máxima seja atingida à altitude –D. A lei da refração exprime-se então por:

\frac{sen{\theta}}{\sqrt{-2gy}}=\frac{1}{\sqrt{2gD}}.
Num ponto qualquer da trajetória podemos aplicar a relação:

sen{\theta}=\frac{dx}{\sqrt{dx^2+dy^2}}.
Inserindo esta expressão na fórmula precedente e arrumando os termos da mesma obtem-se:

\begin{pmatrix}\frac{dy}{dx}\end{pmatrix}^2=-\frac{D+y}{y}.
Que corresponde à equação diferencial do oposto de uma ciclóide gerado pelo diâmetro D.

Citações
  • Que aquele que consiga solucionar este problema conquiste o prêmio que prometemos. Este prêmio não é ouro nem prata (...) mas antes as honras, os elogios e os aplausos; (...) exaltaremos, pública e privadamente, por palavra e por carta, a perspicácia do nosso grande Apollo”. (Johann Bernoulli - proclamação de 1697.)
  • Reconheço o leão pela sua garra”. (Comentário atribuído a Johann Bernoulli referindo-se a Newton, a propósito da solução anônima apresentada.)

 

Referências


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