segunda-feira, 28 de setembro de 2015

Biografia de Edmund Landau

Edmund Landau
Edmund Landau. Edmund Georg Hermann (Yehezkel) Landau. Nasceu em Berlim, a 14 de Fevereiro de 1877, e, faleceu, também em Berlim, a 19 de Fevereiro de 1938. Edmund Landau foi um matemático alemão que trabalhou nos campos da teoria dos números e análise complexa. Publicou mais de 250 trabalhos em teoria dos números.

Biografia

Edmund Landau nasceu em Berlim. Filho do ginecologista Leopold Landau e sua mulher Johana Jacoby. Landau estudou matemática na Universidade de Berlim, onde obteve um doutorado em 1899 e a habilitação em 1901. Sua tese de doutorado teve 14 páginas. Em 1905 casou com Mariane Ehrlich, filha do biólogo Paul Ehrlich, que foi agraciado com o Nobel de Fisiologia ou Medicina de 1908.


Problemas de Landau

Os Problemas de Landau são quatro conhecidos problemas sobre os números primos, que Edmund Landau catalogou como "inatacáveis no estado atual da ciência" durante o Congresso Internacional de Matemáticos de 1912.Os quatro problemas são os seguintes:
  • A conjectura de Goldbach: Todo número par maior que 2 pode ser expresso como a soma de dois números primos?
  • A conjectura dos números primos gêmeos: Há infinitos números primos p tais que (p+2) também é um número primo?
  • A conjectura de Legendre: Sempre existe um número primo entre dois quadrados perfeitos?
  • A conjectura de que há infinitos números primos p tais que (p-1) é um quadrado perfeito. Dizendo de outra forma, há infinitos números primos da forma n^2 + 1?

Progresso

 

Conjectura de Goldbach

O Teorema de Vinográdov demostra a conjectura fraca de Goldbach (Christian Goldbach) para os n suficientemente grandes. Deshouillers, Effinger, Te Riele e Zinaviev demostraram a conjectura fraca de forma condicionada à hipótese generalizada de Riemann. Sabe-se que a conjetura fraca se cumpre para todo n fora do intervalo (10^{20}, e^{3100}). O teorema de Chen demostra que para todos os n suficientemente grandes, 2n=p+q onde p é primo e q é primo ou semiprimo. Hugh Montgomery e Robert Charles Vaughan demostraram que o conjunto excepcional dos números pares que não podem ser expressos como soma de dois primos tem densidade zero.

Conjectura dos primos gêmeos

Daniel Goldston, János Pintz e Cem Yıldırım demostraram que a diferença entre dois números primos consecutivos pode ser muito menor que a diferença média entre dois primos consecutivos:
\liminf\frac{p_{n+1}-p_n}{\sqrt{\log p_n}(\log\log p_n)^2}<\infty.
Anteriormente, demostraram condicionalmente, sobre conjectura de Elliott-Halberstam, uma versão mais fraca da conjectura dos números primos gêmeos em que há um número infinito de primos p tais que \pi(p+20)-\pi(p)\ge1. Onde \pi(x) é a função de contagem de números primos. A conjectura dos primos gêmeos substitui o 20 da expressão por 2. Chen Jingrun demonstrou que existem infinitos primos p (que posteriormente ficaram conhecidos como números primos de Chen) tais que p + 2 é primo ou semiprimo.

Conjectura de Legendre

É suficiente mostrar que cada número primo p, a diferença com o próximo primo é menor que 2\sqrt p. Uma tabela de diferenças máximas entre os primos consecutivos mostra que a conjetura se verifica até 1018. Um contra exemplo próximo a 1018 requeriria uma diferença de cinquenta milhões de vezes maior que a diferencia média entre um primo e o seguinte de. Um resultado de Albert Ingham mostra que existe um número primo entre n^3 e (n+1)^3 para cada n suficientemente grande.

Primos da forma n^2+1 (n^2+1)

O teorema de Friedlander-Iwaniec mostra que há infinitos números primos da forma x^2+y^4. Henrik Iwaniec também mostrou que existem infinitos números da forma n^2+1 com no máximo dois fatores primos.

Referências

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