segunda-feira, 28 de setembro de 2015

Biografia de Adrien-Marie Legendre

Legendre
Adrien-Marie Legendre. Nasceu em Paris, a 18 de Setembro de 1752, e, faleceu também em Paris, a 10 de Janeiro de 1833. Legendre foi um matemático francês. Fez importantes contribuições à estatística, teoria dos números, álgebra abstrata e análise matemática. A cratera lunar Legendre tem esse nome em sua homenagem. 

Vida 

Adrien-Marie Legendre nasceu em Paris (ou, eventualmente, em Toulouse, dependendo das fontes) em 18 de Setembro de 1752, numa família rica. Foi-lhe dada uma educação de qualidade superior no Collège Mazarin em Paris, elaborando sua tese em física e matemática em 1770. De 1775 a 1780, lecionou na École Militaire, em Paris, e a partir de 1795 na École Normale, e foi associado ao Bureau des Longitudes. Em 1782, ganhou o prêmio oferecido pela Academia de Berlim por seu tratado sobre projéteis em meios viscosos, o que despertou a atenção de Joseph-Louis Lagrange. Em 1783, tornou-se membro adjunto da Académie des Sciences, e associado em 1785. Durante a Revolução Francesa, em 1793, perdeu sua fortuna pessoal, mas conseguiu pôr os negócios em ordem com a ajuda de sua esposa, Claudine Marguerite-Couhin, com quem se casou no mesmo ano. Em 1795, tornou-se um dos seis membros da seção matemática da reconstituída Académie des Sciences, denominada Institut National des Sciences et des Arts e, mais tarde, em 1803, da seção de Geometria como reorganizado sob Napoleão. Em 1824, como resultado de sua recusa a votar no candidato do governo no Instituto Nacional, Legendre foi destituído da sua pensão da École Militaire pelo Ministre de l'Intérieur do governo ultra-realista, o conde de Corbière, onde trabalhou de 1799 a 1815 como examinador de matemática de estudantes de artilharia. A pensão acabou sendo parcialmente restabelecida com a mudança de governo em 1828, e em 1831 Legendre tornou-se oficial da Légion d'Honneur.(Ordem Nacional da Legião de Honra). Legendre morreu em Paris em 09 de Janeiro de 1833, após uma longa e dolorosa doença. Sua esposa fez um culto a sua memória, cuidando de seus pertences. Após sua morte, em 1856, ela partiu da sua última casa no interior do país para a vila de Auteuil, onde o casal viveu e foi enterrado. Legendre é um dos 72 nomes inscritos na Torre Eiffel. 

Trabalhos científicos 

A maior parte da sua obra foi completada por outros: seu trabalho sobre raízes polinomiais inspirou a Teoria de Galois, o trabalho de Niels Henrik Abel sobre funções elípticas foi construído sobre o de Legendre; alguns dos trabalhos de Carl Friedrich Gauss na teoria dos números e estatística completou os de Legendre. Ele desenvolveu o método dos mínimos quadrados, que tem ampla aplicação na regressão linear, processamento de sinais, estatística e ajuste de curvas. Hoje, o termo “Método dos Mínimos Quadrados” é usado como uma tradução direta do francês “méthode des moindres carrés”. Em 1830, Legendre forneceu uma demonstração do último teorema de Fermat para o expoente n = 5, o que também foi comprovado por Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet em 1828. Na teoria dos números, ele conjecturou a Lei Da Reciprocidade Quadrática, posteriormente comprovada por Gauss. Em adição, o símbolo de Legendre tem esse nome em sua homenagem. Ele também fez um trabalho pioneiro sobre a distribuição dos números primos, e sobre a aplicação da análise à teoria dos números. Sua conjectura em 1796 do Teorema Dos Números Primos foi rigorosamente provado por Jacques Hadamard e por Charles-Jean de la Vallée-Poussin em 1898. Legendre tinha uma quantidade impressionante de trabalhos sobre funções elípticas, incluindo a classificação das integrais elípticas, mas foi um lance de gênio para Niels Henrik Abel estudar as inversas das funções de Carl Gustav Jakob Jacobi e resolver o problema completamente. Ele é conhecido pela Transformação De Legendre, que é usada para ir da Lagrangiana à formulação hamiltoniana na mecânica clássica. Em termodinâmica, também é usada para obter a entalpia e as energias (livres) de Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz e de Josiah Willard Gibbs a partir da energia interna. Ele também é o nominador dos Polinômios De Legendre, as soluções da equação diferencial de Legendre, que ocorrem com freqüência na física e em aplicações de engenharia, como por exemplo na eletrostática. Legendre é mais conhecido por ser o autor de “Éléments De Géométrie”, que foi publicado em 1794 e foi o texto elementar principal sobre o tema durante cerca de 100 anos. Este texto reorganizou e simplificou enormemente muitas das proposições dos elementos de Euclides para criar um livro mais eficaz. 

O desastre do retrato 

Durante dois séculos, até a recente descoberta do erro, em 2009, livros, pinturas e objetos erroneamente mostraram um retrato de perfil do sombrio político francês Louis Legendre (1752-1797) como sendo o do matemático Legendre. O erro decorreu do fato de que o desenho foi rotulado como simplesmente "Legendre". O único retrato conhecido de Legendre, recentemente descoberto, é encontrado no livro “Album De 73 Portraits-Charge Aquarellés Des Membres De I’institut”, de 1820, um livro de caricaturas de 73 matemáticos famosos, do artista francês Julien-Leopold Boilly, como mostrado abaixo:

1820. Caricaturas em aquarela dos matemáticos franceses Adrien-Marie Legendre (esquerda) e Joseph Fourier (à direita), do pintor francês Julien-Leopold Boilly, retratos de aquarela de números 29 e 30 do Album de 73 portraits-charge aquarellés des membres de I’Institut.

Vista lateral do desenho do político francês Louis Legendre (1752-1797), cujo retrato foi erroneamente utilizado, durante quase 200 anos, para representar o matemático francês Adrien-Marie Legendre, ou seja, até 2009, quando o erro foi descoberto.

 

Transformada de Legendre

A transformada de Legendre consiste em uma transformação matemática que, quando aplicada sobre uma função  Y = Y_{(X_0 , X_1, X_2, ... X_n)} sabidamente diferenciável em relação às suas variáveis independentes  x_i , fornece como resultado uma nova equação na qual as derivadas parciais  P_i = \frac{\part Y_{(X_0, X_1, ... X_n)}}{\part x_i} associadas, e não as variáveis  x_i em si, figuram como variáveis independentes. A nova equação consiste na "mesma" equação inicial, mas agora "em uma forma reescrita",  \Psi = \Psi_{(P_0 , P_1, P_2, ... P_n)} . A Transformada de Legendre realiza-se sempre de forma que nunca se perca qualquer informação presente na equação original, devendo as mesmas informações estarem sempre contidas na nova equação.

A Transformada de Legendre e a Termodinâmica


A Transformada de Legendre encontra enorme aplicação em uma área da Física conhecida por Termodinâmica, área que tem por objetivo o estudo dos sistemas constituídos por "infinitos" entes físicos, moléculas em uma amostra confinada de gás, a exemplo.

Equação fundamental e Equação de estado


Em termodinâmica, cada sistema em estudo é descrito por uma equação matemática conhecida por equação fundamental, uma equação que retém em si todas as informações físicas associadas a este sistema. O conceito de equação fundamental reside no fato de, uma vez estabelecida a fronteira do sistema - o seu volume -, o número de entes que o compõem - o seu conteúdo material -, e a energia interna do sistema - o seu conteúdo em energia -, as condições deste sistema no equilíbrio termodinâmico encontram-se por estas grandezas (e algumas outras em sistemas mais complexos, como os magnéticos) então completamente determinadas, sendo obviamente calculáveis a partir das mesmas. As informações físicas, quando necessárias, podem ser extraídas da equação fundamental empregando-se um formalismo matemático inerente ao estudo da termodinâmica. A exemplo, para sistemas simples, no formalismo da entropia, a equação fundamental para a entropia S em um gás ideal será dependente das grandezas volume (V), número de partículas (e não de mols) N, e da Energia Interna U:  S = S_{(U, V, N)} . No formalismo da energia, isolando-se a energia interna U em  S_{(U,V,N)} tem-se facilmente  U_{(S,V,N)} , também uma equação fundamental. Qualquer informação física, incluindo-se as equações de estado, a exemplo a equação de Clapeyron  PV=NRT e a equação da energia  U = \frac{n}{2} K_bT (n= 3; 5; ... ) para o caso dos gases ideais, pode ser facilmente extraídas da equação fundamental. Repare que as duas equações anteriores, a de Clapeyron  P_{(V,T, N)} e a da energia  U = U_{(T)} , em função das grandezas tomadas como independentes, são equações de estado e não equações fundamentais do sistema, e portanto não retém em si, quando isoladas, todas as informações necessárias à determinação de todas as propriedades físicas do sistema. Caso conheçam-se as equações de estado de um sistema pode-se obter uma, e em consequência - mediante transformadas de Legendre - todas as equações fundamentais do sistema, mas para isto é necessário que conheçam-se de antemão todas as equações de estado do sistema, sem ausência de nenhuma delas. A título de curiosidade a equação fundamental para um sistema composto por N partículas de um gás ideal confinados em um volume V e com energia interna U é, na representação entrópica, com  k_B representando a constante de Boltzmann (Ludwig Boltzmann) e c uma constante, e a menos de constante(s) acompanhando a grandeza N com unidade(s) definida(s) de forma a tornar correta a análise dimensional, não explicitamente indicadas aqui:

S_{(U,V,N)}= \frac {3}{2} Nk_B \ln\left(\frac {U}{N}\right) + Nk_B \ln\left(\frac{V}{N}\right) +Nk_Bc

Isolando-se U, tem-se, na representação da energia:

 U_{(S,V,N)} = N \left(\frac {N}{V}\right)^{\frac{2}{3}} e^{\frac{2}{3} \left(\frac {S}{Nk_B} -c\right)}

Verifica-se experimentalmente, entretanto, que as grandezas intensivas como a pressão  P , temperatura  T , e potencial químico  \mu (onde P= -\frac{\part U_{(S, V, N)}}{\part V} ,  \mu = \frac{\part U_{(S, V, N)}}{\part N} e  T= \frac{\part U_{(S, V, N)}}{\part S} no formalismo termodinâmico da energia) são muito mais acessíveis por medidas experimentais do que as grandezas extensivas como o volume V, entropia S e número de partículas N. Seria portanto extremamente conveniente, em acordo com a situação, principalmente em situações onde uma ou mais destas permaneçam constantes, que a equação fundamental pudesse ser reescrita, sem perda de informação, em função destas grandezas intensivas.

Representações no Formalismo da Energia


A Transformada de Legendre cumpre exatamente o papel na termodinâmica de permitir que se escreva a equação fundamental de um sistema em função das grandezas intensivas (e/ou extensivas) associadas, e não apenas em função das correspondentes extensivas. Em acordo com a grandeza extensiva "transformada" para a intensiva a ela conjugada, dentro do formalismo da energia, a exemplo, surgem várias representações possíveis para a equação fundamental, a saber:

  • A energia interna U, onde  U = U_{(S,V,N)}  : a representação padrão no formalismo da energia.

  • A energia livre de Helmholtz F, onde  F = F_{(T, V, N)} : decorre da substituição da grandeza extensiva S em  U = U_{(S, V, N)} pela correspondente grandeza conjugada, T, mediante F= U-TS , sendo  F = F_{(T, V, N)} "mais adequada" para o estudo das transformações isotérmicas.

  • A entalpia H, onde  H = H_{(S, P, N)} : decorre da substituição da grandeza extensiva V em  U = U_{(S, V, N)} pela correspondente intensiva, P, mediante H= U+PV , sendo  H = H_{(S, P, N)} "mais adequada" para o estudo das transformações isobáricas.

  • A energia livre de Gibbs G, onde  G = G_{(T, P, N)} : decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e da grandeza extensiva V pela correspondente grandeza conjugada P em  U = U_{(S, V, N)} , mediante G= U-TS+PV , sendo  G = G_{(T, P, N)} "mais adequada" para o estudo de processos que ocorrem à temperatura e pressão constantes.

  • O grande potencial canônico,  C = C_{(T,V, \mu_1,\mu_2...)} , decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e das grandezas extensivas N_i pelas correspondentes intensivas  \mu_i em  U = U_{(S, V, N_1, N_2...)} , mediante  C= U-TS- \Sigma \mu_i N_i , sendo  C = C_{(T,V,...,\mu_i)} "mais adequada" para o estudo de processos onde ocorrem várias substâncias misturadas (N_1, N_2,...) e, mesmo em caso de substância única, trocas de partículas à temperatura constante.

Em função da entropia S ser sempre uma função monótona crescente da energia interna U, a equação fundamental fundamental  U = U_{(S, V, N)} pode sempre ser "facilmente" reescrita, mediante troca de variáveis, para fornecer a equação, também fundamental,  S = S_{(U, V, N)} , o que, de forma similar ao feito para o formalismo da energia, dá origem ao que se conhece por formalismo termodinâmico da entropia (ou entrópico), igualmente aplicável ao estudo dos sistemas termodinâmicos e capaz de fornecer os mesmos resultados e informações antes obtidos no formalismo da energia. Transformadas de Legendre podem ser igualmente aplicadas à equação fundamental  S = S_{(U, V, N)} em acordo com o caso em estudo, fornecendo equações fundamentais que nem sempre recebem nomes especiais, sendo estas genericamente conhecidas por funções de Massieu. No formalismo da energia, a energia interna U_{(S,V,N)} e suas transformadas são geralmente conhecidas por potenciais termodinâmicos.


A transformada de Legendre


Descrição

Para a compreensão da transformação de Legendre ir-se-á considerar aqui a interpretação geométrica da Transformada de Legendre, e por comodidade mas sem perda de generalidade, considerar-se-á também uma função  Y_{(X)} dependente de apenas uma variável independente, X.
Sendo  P = \frac {\part {Y_{(X)}}}{\part x} = \frac { d{Y_{(X)}}}{dx} no presente caso, à primeira vista pode parecer que para se obter uma função  Y_{(P)} onde P e não X desempenha o papel de variável independente bastaria eliminar-se X em  Y_{(X)} mediante a relação estabelecida entre P e X por  P =  \frac { d{Y_{(X)}}}{dx} . Um reflexão um pouco mais aguçada, entretanto, mostrará que neste processo perde-se informação associada à curva inicial visto que, uma vez conhecido  Y_{(P)} , não se pode inverter o processo de forma a se obter novamente de forma unívoca a função inicial  Y_{(X)} ... (leia mais clicando aqui).

 

Conjectura de Legendre


A conjectura de Legendre, enunciada por de Adrien-Marie Legendre, afirma que existe sempre um número primo entre n^2 e (n+1)^2. Esta conjectura faz parte dos Problemas de Landau (Edmund Landau). Chen Jingrun demonstrou em 1965 que existe sempre um número compreendido entre n^2 e (n+1)^2 que é primo ou semiprimo, ou seja, o produto de dois primos. Além disso, sabe-se que há sempre um número primo entre n - n^\theta e n, sendo \theta = 23/42 = 0,547... (demonstrado por Henrik Iwaniec e János Pintz em 1984). A sequência dos primeiros primos compreendidos entre n^2 e (n+1)^2 é 2, 5, 11, 17, 29, 37, 53, 67, 83, 101, 127, 149, 173, 197, 227, 257, 293, 331, 367, 401,... (sequência A007491 na OEIS). A sequência de números de primos compreendidos entre n^2 e (n+1)^2 é 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 3, 5, 4, 5, 5, 4, 6, 7, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 6, 9,... (sequência A014085 na OEIS). 

Referências

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