sexta-feira, 1 de agosto de 2014

Biografia de James Clerk Maxwell


James Maxwell
James Clerk Maxwell. Nasceu em Edimburgo, a 13 de Junho de 1831, e, faleceu em Cambridge, a 5 de Novembro de 1879. James Maxwell foi um físico e matemático britânico. É mais conhecido por ter dado forma final à teoria moderna do eletromagnetismo, que une a eletricidade, o magnetismo e a óptica. Esta é a teoria que surge das equações de Maxwell, assim chamadas em sua honra e porque foi o primeiro a escrevê-las juntando a lei de Ampère, modificada por Maxwell, a lei de Gauss, e a lei da indução de Faraday. Maxwell demonstrou que os campos eléctricos e magnéticos se propagam com a velocidade da luz. Ele apresentou uma teoria detalhada da luz como um efeito electromagnético, isto é, que a luz corresponde à propagação de ondas eléctricas e magnéticas, hipótese que tinha sido posta por Michael Faraday. Foi demonstrado em 1864 que as forças elétricas e magnéticas tem a mesma natureza: uma força elétrica em determinado referencial pode tornar-se magnética se analisada noutro, e vice-versa. Ele também desenvolveu um trabalho importante em mecânica estatística, tendo estudado a teoria cinética dos gases e descoberto a chamada distribuição de Maxwell-Boltzmann. Maxwell é considerado por muitos o mais importante físico do século XIX, o seu trabalho em electromagnetismo foi a base da relatividade restrita de Einstein e o seu trabalho em teoria cinética de gases fundamental ao desenvolvimento posterior da mecânica quântica.




Vida



James e Katherine Maxwell.
James Clerk Maxwell nasceu em 13 de Junho de 1831 na Rua India, 14, em Edimburgo, filho de John Clerk Maxwell, um advogado, e Frances Maxwell. O pai de Maxwell era um homem com confortáveis meios financeiros, aparentado com a família Clerk de Penicuik, Midlothian, os titulares do baronato de Clerk de Penicuik, sendo seu irmão o sexto barão. Nascera John Clerk, adicionando o sobrenome Maxwell ao seu próprio depois de ter herdado uma propriedade rural em Middlebie, Kirkcudbrightshire, a partir das conexões com a família de Maxwell, eles próprios membros do pariato. Os pais de Maxwell não se conheceram e se casaram, até que tivessem passado dos trinta anos, o que era incomum para a época, Frances Maxwell tinha quase 40 quando James nasceu. Eles tinham tido anteriormente uma criança, uma filha, Elizabeth, que morreu na infância. Chamaram seu único filho sobrevivente de James, um nome que tinha sido usado não só pelo seu avô, mas também por muitos outros de seus ancestrais. Seus pais John Clerk Maxwell e Frances Maxwell possuíam extensas terras no campo escocês, onde Maxwell cresceu. Sua mãe adoeceu, provavelmente com cancro, e morreu em 1839. Aos 10 anos de idade, Maxwell foi para escola em Edimburgo. Ele fez a universidade em Edimburgo, pensando que aí teria mais possibilidade de vir a ser cientista, do que em uma universidade mais prestigiosa como por exemplo Cambridge onde também tinha sido aceito. Na universidade de Edimburgo, graduou-se em Filosofia Natural (como era nessa época denominada a Física), Filosofia Moral e Filosofia Mental. Em 1850 foi estudar matemática na Universidade de Cambridge, mais precisamente no Trinity College. É nesta época que Maxwell inicia o seu estudo das equações de eletromagnetismo, que continuaria praticamente toda a sua vida. Em 1854, graduou-se, entre os melhores estudantes do seu ano, e imediatamente depois apresenta um brilhante artigo à Sociedade Filosófica de Cambridge com o título "On the Transformation of Surfaces by Bending", um dos poucos artigos puramente matemáticos que escreveu.




Carreira



Estátua de Maxwell em Edinburgh.
(imagem: Kim Traynor).
Em 1856 Maxwell se tornou professor em Aberdeen, e casa-se aos 27 anos com Katherine Mary Dewar, com quem nunca teve filhos. De 1855 a 1872 publicou com intervalos uma série de investigações sobre a percepção da cor e o daltonismo pela qual receberia a medalha Rumford da Royal Society em 1860. Em 1859 recebeu o Prêmio Adams por um artigo sobre a estabilidade dos anéis de Saturno, em que demonstra que estes não podem ser completamente sólidos nem fluidos. A estabilidade destes anéis implica que eles têm de ser constituídos por numerosas pequenas partículas sólidas. Do mesmo modo provou que o sistema solar não podia ser formado pela condensação de uma nébula puramente gasosa, mas que esta nébula tinha que conter também pequenas partículas sólidas. Foi também nesta época que Maxwell fez os seus trabalhos mais importantes em física estatística, tendo generalizado o trabalho iniciado por Clausius (Rudolf Julius Emanuel Clausius) em que este punha a hipótese de que um gás era formado por moléculas que se movem a uma certa velocidade e que vão mudando de velocidade ao chocar entre si. Maxwell considerou que as partículas se tinham que mover a diferentes velocidades e estudou a distribuição da velocidade destas. Em 1868 a continuação deste trabalho feita por Boltzmann daria origem à chamada Distribuição de Maxwell-Boltzmann e ao campo da mecânica estatística. Em 1860 foi nomeado professor no King's College de Londres e em 1861 foi eleito membro da Royal Society. Durante este período investigou temas em elasticidade e em geometria pura, mas também prosseguiu os seus estudos em visão e óptica, tendo por exemplo demonstrado que se pode produzir uma fotografia a cores utilizando filtros vermelho, verde e azul e sobrepondo as três imagens assim obtidas (ver ao lado imagem da primeira fotografia a cores na história, obtida por este método). Após a morte de seu pai, em 1865, Maxwell se aposentou para cuidar das terras da família. Nesta época faz importantes contribuições à física experimental, realizando com a sua esposa uma série de experiências sobre a viscosidade dos gases, em que demonstraram por exemplo que a viscosidade de um gás é independente da sua densidade. Maxwell tinha como hábito trabalhar ao mesmo tempo em vários assuntos, com intervalos longos entre artigos sucessivos no mesmo campo. Por exemplo, seis anos se passaram entre o primeiro e o segundo de seus artigos sobre eletricidade (1855, 1861), doze anos entre o segundo e o terceiro artigos mais notáveis sobre teoria cinética (1867, 1879). Em 1870 publicou o livro “A Teoria do Calor”, que dá forma final à termodinâmica moderna e será enormemente influente na física do século XX, e em 1871 inventou o conceito de Demônio de Maxwell, para demonstrar que a segunda lei da termodinâmica, que diz que a entropia nunca decresce, tem um carácter estatístico. Neste ano ainda aceita dirigir o novo Laboratório Cavendish, em Cambridge. Ele mesmo supervisionou a construção do edifício e a compra de todos os aparelhos científicos. Professor Cavendish de Física (cátedra), de 1871 a 1879, tinha acabado de estabelecer o laboratório como centro de excelência científica quando morreu. Durante este período, Maxwell preparou zelosamente a publicação das investigações completas de Henry Cavendish, incluindo os seus estudos de eletricidade, o que viria a ser a sua última importante contribuição para a ciência. Em 1873, Maxwell publicou o Tratado sobre Electricidade e Magnetismo, livro que continha todas as suas ideias sobre este tema e que condensa todo o trabalho que foi fazendo ao longo dos anos. Ele estava preparando uma revisão abrangente deste tratado com as suas novas descobertas neste tema quando morreu em Cambridge prematuramente de cancro do abdômen. Foi enterrado em Parton Kirk, na Escócia.



Trabalhos da juventude



Túmulo de Maxwell. (imagem: Flying Stag).
Maxwell publicou seu primeiro artigo aos quatorze anos. Esse trabalho foi incentivado pela necessidade do artista e decorador D. R. Hay de construir uma figura oval "perfeita" (artisticamente e matematicamente). Nessa época, Maxwell redescobriu as ovais de Descartes. Elas já tinham sido estudadas anteriormente por Descartes, mas Maxwell também as generalizou para mais de dois focos. Desconhecendo o trabalho de Descartes, a originalidade do trabalho de Maxwell foi a forma simples apresentada por ele para resolver o problema de desenhá-las, e a definição de uma classe mais geral de curvas (que agora são por vezes chamadas de "curvas de Maxwell"). Três do quatro artigos seguintes foram sobre geometria. On the Theory of Rolling Curves (Sobre a teoria das curvas rolantes), de 1848, estuda a geometria diferencial de curvas geradas como a cicloide, com uma figura rolando sobre outra. O artigo de 1853 foi uma curta investigação sobre óptica geométrica, e este trabalho levou à descoberta da lente "olho-de-peixe". O terceiro trabalho dessa época, Transformation of Surfaces by Bending (Transformações de superfícies por flexão), ampliação de um trabalho iniciado por Gauss. O único artigo desse período a abordar apenas física foi On the Equilibrium of Elastic Solids (Sobre o equilíbrio de sólidos elásticos), escrito em 1850, pouco antes da ida para Cambridge.

Equações de Maxwell

As equações de Maxwell são um grupo de equações diferenciais parciais que, juntamente com a lei da força de Lorentz, compõe a base do eletromagnetismo clássico no qual está embebido toda a óptica clássica. O desenvolvimento das equações de Maxwell, e o entendimento do eletromagnetismo, contribuíram significativamente para toda uma revolução tecnológica iniciada no final do século XIX e continuada durante as décadas seguintes. As equações de Maxwell podem ser divididas em duas grandes variações. O grupo "microscópico" das equações de Maxwell utiliza os conceitos de carga total e corrente total, que inclui as cargas e correntes a níveis atômicos, que comumente são difíceis de se calcular. O grupo "macroscópico" das equações de Maxwell definem os dois novos campos auxiliares que podem evitar a necessidade de ter que se conhecer tais cargas e correntes em dimensões atômicas. As equações de Maxwell são assim chamadas em homenagem ao físico e matemático escocês James Clerk Maxwell, já que podem ser encontradas, sob outras notações matemáticas, em um artigo dividido em quatro partes, intitulado On Physical Lines of Force (Acerca das linhas físicas de força), que Maxwell publicou entre 1861 e 1862. A forma matemática da lei da força de Lorentz também está presente neste artigo. Torna-se útil, geralmente, escrever as equações de Maxwell em outras formas matemáticas. Estas representações matemáticas, ainda que possam ser completamente diferentes uma das outras, descrevem basicamente os mesmos fenômenos físicos e ainda são chamadas de "equações de Maxwell". Uma formulação em termos de tensores covariantes de campo é usada na relatividade restrita, por exemplo. Dentro da mecânica quântica, é preferida uma versão baseada em potenciais elétrico e magnético.



História



As formulações de Maxwell em 1865 estavam em torno de vinte equações de vinte variáveis, que incluíam diversas equações hoje consideradas auxiliares das equações de Maxwell: a Lei de Ampère corrigida, uma equação de três componentes; a Lei de Gauss para carga, descrita por uma equação; a relação entre densidade de corrente total e de deslocamento, descrita por três equações, a relação entre campo magnético e o vetor potencial, descrita por uma equação de três componentes, que implica a ausência de monopolo magnético; a relação entre campo elétrico e os potenciais escalar e vetorial, descrita por equações de três componentes, que implicam a Lei de Faraday; a relação entre campos elétrico e de deslocamento, descrita por equações de três componentes, a Lei de Ohm, que relaciona intensidade de corrente e campo elétrico, descrita por equações de três componentes; e a equação de continuidade, que relaciona a intensidade de corrente e densidade de carga, descrita por uma equação. A formulação matemática moderna das equações de Maxwell deve-se a Oliver Heaviside e Willard Gibbs, que em 1884 reformularam o sistema original de equações em uma representação mais simples, utilizando-se de cálculo vetorial. Maxwell também havia publicado seu trabalho, em 1873, utilizando notações com base em quaterniões, que acabou se tornando impopular. A mudança para notação vetorial produziu uma representação matemática simétrica que reforçava a percepção das simetrias físicas entre os vários campos. Esta notação altamente simétrica inspiraria diretamente o desenvolvimento posterior da física fundamental. Como um dos resultados derivados das equações de Maxwell, surge a velocidade das ondas eletromagnéticas, dada por . Como consequência, interpretações de físicos logo em seguida sugeriam que as equações de Maxwell expressariam o eletromagnetismo apenas no referencial inercial do éter luminífero. Naquela época, para os físicos, o éter luminífero seria o meio pelo qual a luz oscilaria como onda, assim como uma onda mecânica tendo como meio uma corda, e serviria como referencial absoluto para todo o Universo. O experimento conduzido por Albert Abraham Michelson e Edward Morley produziu um resultado nulo para a hipótese da mudança da velocidade da luz devido ao movimento hipotético da Terra através do éter. Porém, explicações alternativas foram buscadas por Hendrik Lorentz, entre outros. Isto culminou na teoria de Albert Einstein da relatividade especial, que postulava a ausência de qualquer referencial absoluto e a invariância das equações de Maxwell em todos os referenciais. As equações do campo eletromagnético têm uma íntima ligação com a relatividade especial: as equações do campo magnético podem ser derivadas de interpretações das equações do campo elétrico sob transformações relativísticas sob baixas velocidades. Na relatividade restrita, as equações são escritas em uma forma mais compacta, manifestamente covariante, em termos de um quadritensor da intensidade do campo antissimétrico de segunda ordem, que unifica os campos eléctrico e magnético em um único objeto.



Descrição conceitual



Conceitualmente, as equações de Maxwell descrevem como cargas elétricas e correntes elétricas agem como fontes dos campos elétrico e magnético. Além do mais, as equações de Maxwell descrevem como um campo elétrico que varia no tempo gera um campo magnético que também varia no tempo, e vice-versa. Das quatro equações, duas delas, a lei de Gauss e a lei de Gauss para o magnetismo, descrevem como os campos são gerados a partir de cargas. Para o campo magnético, como não há carga magnética, as linhas de campo magnético não começam nem terminam, ou seja, as linhas são como trajetórias fechadas. As outras duas equações descrevem como os campos "circulam" em torno de suas respectivas fontes: o campo magnético "circula" em torno de correntes elétricas e de campos elétricos variantes com o decorrer do tempo, conforme a lei de Ampère com a correção do próprio Maxwell; campos elétricos "circulam" em torno da campos magnéticos que variam com o tempo, conforme a lei de Faraday.



Lei de Gauss



A lei de Gauss, assim chamada em homenagem ao matemático e físico alemão Carl Friedrich Gauss, descreve a relação entre um campo elétrico e as cargas elétricas geradoras do campo. Na descrição em termos de linhas de campo, as linhas de campo elétrico começam das cargas positivas e terminam nas cargas negativas. "Contando" o número de linhas de campo em uma superfície fechada, portanto, obtém-se o total de cargas inclusas naquela superfície. Mais tecnicamente, a lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de qualquer superfície gaussiana fechada para as cargas elétricas na superfície.



Lei de Gauss para o magnetismo



A lei de Gauss para o magnetismo afirma que não há cargas ou monopolos magnéticos análogos às cargas elétricas. Em vez disso, o campo magnético é gerado por uma configuração chamada dipolo. Dipolos magnéticos são mais bem representadas como correntes fechadas, mas que lembram cargas magnéticas positivas e negativas inseparáveis, não tendo, portanto, nenhuma rede de cargas magnéticas. Em termos de linhas de campo, esta equação afirma que as linhas de campo magnético nunca começam ou terminam que circulam. Em outras palavras qualquer linha de campo magnético que entra em um determinado volume ou material devem de alguma forma sair deste volume ou material. Em uma linguagem mais técnica, o fluxo magnético através de qualquer superfície gaussiana é zero, ou que o campo magnético é um campo vetorial solenoidal.



Lei de Faraday



A lei de Faraday, assim chamada em homenagem ao físico inglês Michael Faraday, descreve como um campo magnético que varia com o tempo cria, ou induz, um campo elétrico. Este aspecto da indução eletromagnética é o princípio operante por trás de muitos geradores elétricos. Por exemplo, um magneto em forma de barra, em rotação, cria um campo magnético que varia com o tempo, que por sua vez gera um campo elétrico que também varia com o tempo em um condutor próximo. Há duas equações grandemente relacionadas que são chamadas de lei de Faraday. A forma usada nas equações de Maxwell é sempre válida, embora mais restrita do que a equação originalmente formulada por Faraday.



Lei de Ampère com a correção de Maxwell



A lei de Ampère, assim chamada em homenagem ao físico francês André-Marie Ampère, afirma que campos magnéticos podem ser gerados em duas formas: através de correntes elétricas, que é a lei de Ampère original, e por campos elétricos que variam no tempo, que é a correção proposta por Maxwell. A correção de Maxwell proposta à lei de Ampère é particularmente importante: significa que um campo magnético que varia no tempo cria um campo elétrico que varia no tempo, e que um campo elétrico que varia no tempo gera um campo magnético que varia no tempo. Portanto, estas equações permitem a existência de "ondas eletromagnéticas" auto-sustentadas através do espaço vazio. A velocidade calculada para as ondas-eletromagnéticas, que podia ser prevista através de experimentos em cargas e correntes, coincide exatamente com a velocidade da luz. Portanto, a luz é uma forma de onda eletromagnética. Maxwell entendeu esta relação entre a luz e o eletromagnetismo em 1861, unificando, portanto, duas áreas da Física até então distintas: o eletromagnetismo e a óptica.



Unidades e sumário de equações



As equações de Maxwell variam conforme o sistema de unidades usado. Embora a forma geral permaneça, várias definições são alteradas e diferentes constantes aparecem em diferentes lugares. As equações nesta seção são dadas no Sistema Internacional de Unidades (SI). Outras unidades comumente usadas são as unidades gaussianas, baseado no sistema CGS de unidades, as unidades de Lorentz-Heaviside, usado principalmente em física de partículas e as unidades naturais, conhecidas também como unidades de Planck, usada em física teórica. Nas equações abaixo, símbolos em negrito representam grandezas vetoriais, e símbolos em itálico representam grandezas escalares. As definições dos termos usados abaixo são dadas logo abaixo em tabelas a parte.

Tabela das equações "microscópicas"

 


Formulação em termos de carga e corrente totais


Nome
Forma diferencial
Forma integral
Lei de Gauss
Lei de Gauss para o magnetismo
Lei de Faraday da indução
Lei de Ampère
(com a correção de Maxwell)

 

Tabela das equações "macroscópicas"

 


Formulação em termos de carga e corrente "livres"

Nome
Forma diferencial
Forma integral
Lei de Gauss
Lei de Gauss para o magnetismo
Lei de Faraday da indução
Lei de Ampère
(com a correção de Maxwell)

 

Tabela dos termos usados

 


A tabela a seguir fornece o significado de cada símbolo e da unidade SI de medida:

Definições e unidades


Símbolo
Significado (o primeiro termo é o mais comum)
Unidade SI de medida
Campo elétrico
Também chamado de intensidade de campo elétrico
volt por metro
newton por coulomb
Campo magnético
Também chamado de indução magnética
Densidade de campo magnético
Densidade de fluxo magnético
tesla
weber por metro quadrado,
volt-segundo por metro quadrado
Campo de deslocamento elétrico
Também chamado de indução elétrica
Densidade de fluxo elétrico
coulombs por metro quadrado
newton por volt-metro
Campo magnetizante
Também chamado de campo magnético auxiliar
Intensidade de campo magnético
Campo magnético
ampère por metro
Operador divergência
"por metro"
Operador rotacional
Derivada parcial com respeito ao tempo
"por segundo"
hertz
Elemento vetoral diferencial da superfície "A", com magnitude infinitesimalmente pequena e direção normal à superfície "S"
Metro quadrado
Elemento vetorial diferencial do comprimento tangencial à curva
metro
Permissividade do vácuo, também chamada de constante elétrica, uma constante universal
farads por metro
Permeabilidade do vácuo, também chamada de constante magnética, uma constante universal
henries por metro, ou newtons por ampère quadrado
Densidade de carga livre (cargas ligadas)
coulombs por metro cúbico
Densidade de carga total (incluindo cargas livres e ligadas)
coulombs por metro cúbico
Densidade de corrente livre (não incluindo correntes ligadas)
ampères por metro quadrado
Densidade de corrente total (incluindo correntes livres e ligadas)
ampères por metro quadrado
Rede de cargas elétricas livres dentro de um volume tridimensionalV (não incluindo cargas ligadas)
coulombs
Rede de cargas elétricas ligadas a um volume tridimensionalV (incluindo cargas livres e ligadas)
coulombs
Integral de linha ao longo da fronteira ∂S de uma superfície S (∂S é sempre uma curva fechada - sem início nem fim).
joules por coulomb
Integral de linha do campo magnético sobre a fronteira fechada ∂S da superfície S
tesla-metro
O fluxo elétrico (integral de superfície do campo elétrico) por meio da superfície fechada (a fronteira do volume V)
joule-metro por coulomb
O fluxo magnético (Integral de superfície do campo magnético) por meio da superfície fechada (a fronteira do volume V)
tesla-metro-quadrado ou weber
Fluxo magnético através de qualquer superfície S, não sendo necessariamente uma superfície fechada
weber ou volt-segundo
Fluxo elétrico através de qualquer superfície S, não sendo necessariamente fechada
joule-metro por coulomb
Fluxo de campo de deslocamento elétrico através de qualquer superfície S, não sendo necessariamente fechada
coulomb
Rede de corrente elétrica livre passando através da superfície S (não incluindo correntes ligadas)
ampère
Rede de corrente elétrica passando através da superfície S (incluindo correntes livres e ligadas)
ampère

 

Unidades gaussianas

 


As equações de Maxwell são dadas normalmente no Sistema Internacional de Unidades (SI). No sistema gaussiano de unidades, as equações tomam forma mais simétrica. Os termos em negrito representam vetores:


 \nabla \cdot \mathbf{E} = 4\pi\rho
 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0
 \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
 \nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c} \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t} + \frac{4\pi}{c} \mathbf{J}

Onde c é a velocidade da luz no vácuo. A simetria é mais aparente quando o campo eletromagnético é considerado no vácuo. As equações tomam a seguinte forma altamente simétrica:


\nabla \cdot \mathbf{E} = 0
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

A força exercida por um campo elétrico e um campo magnético sobre uma partícula carregada é dada pela equação da força de Lorentz:

\mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{B}),

onde  q \ é a carga da partícula e  \mathbf{v} \ é a velocidade da partícula. Note que esta é levemente diferente da expressão do SI acima. Por exemplo, aqui o campo magnético \mathbf{B} \ tem as mesmas unidades do campo elétrico  \mathbf{E} \ .

 

Em materiais lineares


Em materiais lineares, os campos D e H são relacionados a E e B por:

\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}
\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}

nos quais:

ε é a constante dielétrica ou permissividade elétrica.

μ é a permeabilidade magnética. Isto pode ser estendido para materiais não-lineares, fazendo ε e μ dependentes da intensidade do campo. Por exemplo, o efeito Kerr, o efeito Pockels e materiais não-isotrópicos, ε e μ passam a ser tensores que mudam a direção do campo ao qual são aplicados. Em meios isotrópicos e não dispersivos, ε e μ são escalares independentes do tempo, e as equações de Maxwell se reduzem a

\nabla \cdot \varepsilon \mathbf{E} = \rho
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
\nabla \times \mathbf{B / \mu} = \mathbf{\mu J} + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}

Em um meio uniforme, homogêneo, ε e μ são constantes independentes da posição, e podem portanto ser trocadas pelas derivadas espaciais. De modo geral, ε e μ podem ser tensores de segunda ordem, descritos por matrizes 3×3, e descrevem materiais birrefringentes ou anisotrópicos. Embora para muitos propósitos a dependência tempo/freqüência destas constantes possa ser desprezada, todo material real exibe alguma dispersão material pela qual ε e/ou μ dependem da freqüência, e a causalidade vincula esta dependência às relações de Kramers-Kronig.

 

Vácuo

 


O vácuo é um meio linear, homogêneo e isotrópico, e suas constantes elétricas são designadas por ε0 e μ0, desprezando-se pequenas não-linearidades devido a efeitos quânticos. Caso não haja presença de correntes ou cargas elétricas, obtêm-se as equações de Maxwell no vácuo:


\nabla \cdot \mathbf{E} = 0
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}} {\partial t}
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}

Estas equações têm uma solução simples em termos de ondas progressivas planas senoidais, com as direções dos campos elétricos e magnéticos ortogonais um ao outro e à direção do deslocamento, e com os dois campos em fase:

\nabla \times \nabla \times \mathbf{E} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \times (-\frac{\partial\mathbf{B}} {\partial t}) = -\frac{\partial \nabla \times \mathbf{B}} {\partial t}
\nabla \times \nabla \times \mathbf{B} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^2 \mathbf{B}=\nabla \times (\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}) = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \nabla \times  \mathbf{E}} {\partial t}

Mas:

0 - \nabla^2 \mathbf{E}= -\frac{\partial} {\partial t}  (\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t})
0 - \nabla^2 \mathbf{B}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial} {\partial t}  (-\frac{\partial\mathbf{B}} {\partial t})

O que permite obter a equação da onda eletromagnética:

\nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 { \partial^2 \mathbf{E} \over \partial t^2 }
\nabla^2 \mathbf{B}= \mu_0 \varepsilon_0 { \partial^2 \mathbf{B} \over \partial t^2 }

De onde se obtem a velocidade da onda eletromagnética (c):

v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}

Maxwell percebeu que essa quantidade "v" poderia estar relacionada à velocidade da luz no vácuo, e concluiu que a própria luz poderia ser uma forma de radiação eletromagnética, confirmada por Heinrich Hertz em 1888.


Detalhamento


Densidade de carga e campo elétrico


A forma integral equivalente (dada pelo teorema da Divergência), também conhecida como Lei de Gauss, é:

Q_{\mbox{englobado}} = \int \!\!\!\int \!\!\! \int_V \rho dV

pelo teorema da Divergência:
\int \!\!\!\int \!\!\! \int_V \nabla \cdot \mathbf{D} dV = \int\!\!\! \oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A}

e pela Lei de Gauss:

 \int \!\!\! \oint_A \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = Q_{\mbox{englobado}}

logo

\int \!\!\! \oint_A \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int \!\!\!\int \!\!\! \int_V \nabla \cdot \mathbf{D} dV

onde d\mathbf{A} é a área de um quadrado diferencial numa superfície fechada A com uma normal dirigida para fora definindo sua direção, e Q_{\mbox{englobado}} é a carga livre abrangida pela superfície. portanto:

\int \!\!\!\int \!\!\! \int_V \nabla \cdot \mathbf{D} dV = \int \!\!\!\int \!\!\! \int_V \rho dV logo \longrightarrow \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho,

onde {\rho} é a densidade volumétrica de carga elétrica livre (SI: C/m3), não incluindo dipolos de cargas ligadas no material, e \mathbf{D} é a densidade superficial de carga elétrica (SI: C/m2). Esta equação corresponde à lei de Coulomb para cargas estacionárias no vácuo.

Em um material linear, \mathbf{D} está diretamente relacionado ao campo elétrico \mathbf{E} por meio de uma constante dependente do material chamada permissividade \epsilon:

\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}.

Qualquer material pode ser tratado como linear, desde que o campo elétrico não seja extremamente intenso. A permissividade do espaço livre é referida como \epsilon_0, e aparece em:

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_t}{\varepsilon_0}

onde, novamente, \mathbf{E} é o campo elétrico (SI: V/m), \rho_t é densidade de carga total, incluindo as cargas ligadas, e \epsilon_0 (aproximadamente 8,854 pF/m) é a permissividade do vácuo. \epsilon também pode ser escrito como \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r, onde \epsilon_r é a permissividade relativa do material ou sua constante dielétrica.


Estrutura do campo magnético


\nabla \cdot \mathbf{B} = 0

\mathbf{B} é a densidade de fluxo magnético (SI: tesla, T), também chamada a indução magnética.

A sua forma integral equivalente é:

\int\!\!\!\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0

d\mathbf{A} é a área de um quadrado diferencial A com uma normal superficial apontando para fora, definindo sua direção. Semelhantemente à forma integral do campo elétrico, esta equação funciona somente se a integral for calculada sobre uma superfície fechada. Esta equação é relacionada à estrutura do campo magnético porque, dado o elemento de volume, a magnitude líquida dos componentes vectoriais que apontam para fora da superfície deve ser igual à magnitude dos componentes vectoriais que apontam para dentro. E estruturalmente, isto significa que as linhas do campo magnético devem ser linhas ou trajetórias fechadas. Outra maneira de se afirmar isto é que as linhas de campo não podem se originar de outro lugar. Esta é a formulação matemática da hipótese de que não há monopólios magnéticos.


Campos magnéticos e elétricos variáveis


\nabla \times \mathbf{E} = -\frac {\partial \mathbf{B}}{\partial t}

Usando a forma integral equivalente e usando o teorema de Stokes, temos:

\oint_{c} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = \int\!\!\!\int_S \nabla \times \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}

e como pela lei de Faraday :

 \oint_{c} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \frac {\partial \Phi_{\mathbf{B}}} {\partial t} onde  \Phi_{\mathbf{B}} = \int\!\!\! \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}

logo

\oint_{c} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = \int\!\!\!\int_S \nabla \times \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = -\frac{\partial}{\partial t}\int\!\!\!\int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} =  \int\!\!\!\int_{S} -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}  \cdot d\mathbf{A}

onde

ΦB é o fluxo magnético através da área A descrita pela segunda equação

E é o campo elétrico gerado pelo fluxo magnético

c é um contorno fechado na qual a corrente é induzida, tal como um fio.

S é a superfície enlaçada pela curva c.

A força eletromotriz, algumas vezes denotada como \mathcal{E} e não deve ser confundida com a permissividade acima, é igual ao valor desta integral. Esta lei corresponde à lei de Faraday de indução eletromagnética. Esta equação relaciona os campos elétrico e magnético, mas isso também tem várias aplicações práticas. Esta equação descreve como motores elétricos e geradores elétricos trabalham. Especificamente, isto demonstra que a voltagem pode ser gerada pela variação do fluxo magnético passando através de uma dada área no tempo, tal como acontece com uma espira girando uniformemente através de um campo magnético fixado. Em um motor ou gerador, a excitação fixa é fornecida pelo circuito de campo e a voltagem variável é medida pelo circuito da armadura. Em alguns tipos de motores/geradores, o circuito de campo é montado sobre o rotor e o circuito da armadura é montado sobre o estator, mas outros tipos de motores/geradores empregam a configuração contrária.


Fonte do campo magnético


 \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac {\partial \mathbf{D}} {\partial t}

onde H é a intensidade de campo magnético (SI: A/m), relacionado ao campo magnético B por uma constante chamada permeabilidade magnética μ (B = μH), e J é a densidade de corrente elétrica, definida por: \mathbf{J} = \rho_q\mathbf{v}, onde v é o campo vetorial chamado de velocidade de arraste que descreve as velocidades de um portador de carga que tem uma densidade descrita pela função escalar \rho_q.

Utilizando o Teorema de Stokes temos:

 \int\!\!\!\int_S \nabla \times \mathbf{H}\cdot d\mathbf{A} = \oint_c \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}

logo:

 \oint_c \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = \int\!\!\!\int_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{A} + \int\!\!\!\int_S \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{A}

Lei de Ampere:  \oint_c \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = \int\!\!\!\int_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{A}= I_{circulada}

Contribuição de Maxwell:  \int\!\!\!\int_S \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{A}

\oint_c \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = I_{circulada} + \int\!\!\!\int_S \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{A}

Icirculada é a corrente circulada pela curva c (a corrente através de qualquer superfície é definida pela equação:

 I_{passa por S} = \int\!\!\!\int_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{A}.

No vácuo, a permeabilidade μ é a permeabilidade do espaço vazio, μ0, que é definida como sendo exatamente 4π×10−7 W/A m. Também, a permissividade torna-se a permissividade ε0. Portanto, no vácuo, a equação torna-se:

\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0  \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

Usando a forma integral equivalente:

\int\!\!\!\int_S \nabla \times \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = \oint_c \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\mbox{circulada}} + \mu_0\varepsilon_0 \int\!\!\!\int_S \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \cdot d \mathbf{A}

s é a aresta de uma superfície A, onde qualquer superfície com a curva s como sendo sua aresta deverá servir, e Icirculada é a corrente circulada pela curva s. A corrente através de qualquer superfície é definida pela equação: Iatravés de A =∫AJ dA. Se a densidade de fluxo elétrico não variar muito rapidamente, o segundo termo do membro direito, o fluxo de deslocamento, é desprezível, e a equação se reduz à lei de Ampère.


Equações de Maxwell na relatividade especial


Na relatividade especial, para expressar mais claramente o fato de que as equações de Maxwell no vácuo tomam a mesma forma em todos os sistemas de coordenadas inerciais, as equações de Maxwell são escritas em termos de quadrivetores e quadritensores na forma manifestamente covariante:

J^\beta = \partial_\alpha F^{\alpha\beta} \,\!,

e

0 = \partial_\gamma F_{\alpha\beta} + \partial_\beta F_{\gamma\alpha} + \partial_\alpha F_{\beta\gamma} \,\!

onde J é a quadricorrente, F é o tensor intensidade de campo ou tensor de Faraday, escrito como uma matriz 4 × 4 , e \partial_\alpha = (\partial/\partial ct, \nabla) é o quadrigradiente, tal que \partial_\alpha \partial^\alpha é o operador d'Alembertiano. O α na primeira equação é implicitamente somado de acordo com a convenção da notação de Einstein. A primeira equação tensorial expressa as duas equações inomogêneas de Maxwell: lei de Gauss e a lei de Ampère com a correção de Maxwell. A segunda equação expressa as outras duas equações homogêneas: a lei de indução de Faraday e a ausência de monopolos magnéticos.

Mais explicitamente, J = (cρ, J), um vetor contravariante, em termos da densidade de carga ρ e a densidade de corrente J. Em termos de quadripotencial, como um vetor contravariante, \tilde{A}^{\alpha} =  \left(\phi, \mathbf{A} c \right), onde φ é o potencial elétrico e A é o potencial vetor magnético pelo calibre de Lorenz \left ( \partial_\alpha \tilde{A}^\alpha = 0 \right ), F pode ser expresso como:

F^{\alpha\beta} = \partial^\alpha \tilde{A}^\beta - \partial^\beta \tilde{A}^\alpha \,\!

o que conduz a uma matriz 4 × 4 (tensor de segunda ordem):

F^{\alpha\beta} = \left(\begin{matrix}0 & -E_x & -E_y & -E_z \\E_x & 0 & -B_z & B_y \\E_y & B_z & 0 & -B_x \\E_z & -B_y & B_x & 0\end{matrix}\right) .

O fato de que ambos os campos elétrico e magnético são combinados em um único tensor, que expressa que, de acordo com a relatividade, ambos os campos são diferentes aspectos da mesma coisa. E assim pela troca dos referenciais, o que parecia ser um campo elétrico em um referencial se afigura como um campo magnético em outro referencial, e vice-versa.

Note que diferentes autores algumas vezes empregam diferentes convenções de sinal para os tensores e quadrivetores, o que não afeta a interpretação física. Note também que Fαβ e Fαβ não são os mesmos: eles são as formas do tensor contravariante e covariante , relacionados pelo tensor métrico g. Na relatividade especial o tensor métrico introduz as mudanças de sinal em algumas componentes de F; dualidades métricas mais complexas são encontradas na relatividade geral.


Equações de Maxwell no vácuo

 


No vazio, onde não existem cargas nem correntes, podem ainda existir campos elétrico e magnético. Nesse caso, as quatro equações de Maxwell são:














O único parâmetro nessas equações é a constante k_\mathrm{m}/k. No sistema internacional de unidades, o valor dessa constante é:


\frac{k_\mathrm{m}}{k} = \frac{10^{-7}\;\mathrm{T}\cdot\mathrm{m}\cdot\mathrm{A}^{-1}}{9\times10^9\;\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{C}^{-2}} =\frac{1}{9\times 10^{16}} \;\frac{\mathrm{s}^2}{\mathrm{m}^2}


que é exatamente igual ao inverso do quadrado da velocidade da luz c=3\times 10^8\;\mathrm{m}/\mathrm{s}:


\frac{k_\mathrm{m}}{k} = \frac{1}{c^2}


Na época de Maxwell, meados do século XIX, a velocidade da luz já tinha sido medida com precisão dando exatamente o mesmo valor que acabamos de calcular a partir da constante de Coulomb e da constante magnética. Assim, Maxwell concluiu que a luz deveria ser uma onda eletromagnética, composta por campos elétrico e magnético que se propagam no espaço.


Formas diferenciais

 


No vácuo, onde ε e μ são constantes em toda parte, as equações de Maxwell simplificam-se consideravelmente uma vez que se use a linguagem da geometria diferencial e formas diferenciais. Com isso, os campos elétrico e magnético são conjuntamente descritos por uma 2-forma em um espaçotempo quadridimensional, a qual é usualmente chamada F. As equações de Maxwell então se reduzem à identidade de Bianchi

d\bold{F}=0

onde d é a derivada exterior, e a equação fonte

d*\bold{F}=*\bold{J}

onde o asterisco * é a estrela de Hodge. Aqui, os campos são representados em unidades naturais onde ε0 é 1. Aqui, J é a 1-forma, chamada de corrente elétrica, que satisfaz a equação da continuidade

d*\bold{J}=0

 

Espaço fibrado

 


A formulação mais concisa e abrangente das equações de Maxwell e da eletrodinâmica clássica em geral é como um espaço fibrado com fibra U(1). A conexão no espaço fibrado é d+A com A sendo o quadrivetor compreendendo o potencial elétrico e o potencial vetor magnético. A curvatura da conexão F=dA é a intensidade de campo. Há um resultado criticamente importante dentro do conceito de espaço fibrado que mostra que esta é a abordagem correta: a holonomia em um espaço fibrado descreve o efeito Aharonov-Bohm. Embora o efeito Aharonov-Bohm seja algumas vezes admitido como um efeito quântico, sua explicação não requer qualquer quantização do campo eletromagnético. O efeito pode ser entendido em termos puramente clássicos como a holonomia de uma curva em um espaço fibrado. Sem a formulação do espaço fibrado, o efeito Aharonov-Bohm parece ser uma fantasmagórica ação a distância, inexplicável pelas tradicionais equações de Maxwell.


Distribuição de Maxwell-Boltzmann

Devido a colisões, uma determinada partícula
vai variando a sua velocidade.
A distribuição de Maxwell-Boltzmann é uma distribuição de probabilidade com aplicações em física e química. A aplicação mais comum dá-se no campo da mecânica estatística. A temperatura de qualquer sistema físico é o resultado do movimento das moléculas e átomos que compõem o sistema. Estas partículas possuem um intervalo de diferentes velocidades, e a velocidade de uma determinada partícula varia constantemente devido a colisões com outras partículas. No entanto, para uma fracção de um número grande de partículas, dentro de um determinado intervalo de velocidades, as velocidades são quase constantes. A distribuição Maxwell relativa às velocidades especifica esta fracção, para cada intervalo de velocidades, como função da temperatura do sistema. Esta distribuição leva o nome de James Clerk Maxwell e de Ludwig Boltzmann. A distribuição pode ser vista como a magnitude de um vector tridimensional, se os seus componentes estiverem distribuídos como uma distribuição normal com desvio padrão . Se estiverem distribuídos como , então

Z = \sqrt{X_1^2+X_2^2+X_3^2}

está distribuído como uma distribuição de Maxwell–Boltzmann com parâmetro a.

Demônio de Maxwell

O demônio de Maxwell é um experimento mental projetado por James Clerk Maxwell em 1871, para sugerir que a segunda lei da termodinâmica seria verdadeira apenas estatisticamente. A segunda lei da termodinâmica estabelece a irreversibilidade de fenômenos de física estatística, e particularmente das transferências térmicas, traduzindo-se em um aumento contínuo da entropia. Por exemplo, se deixarmos aberta a porta de uma geladeira, a temperatura da geladeira e do ambiente vão se equilibrar de forma irreversível, sem aporte de energia. Contudo, a experiência do demônio de Maxwell propõe um processo que permite retornar a um estado de temperatura desigual, sem gastar energia e diminuindo a entropia, o que seria, em princípio, impossível - sempre de acordo com a segunda lei da termodinâmica. Para mostrar que tal lei teria um caráter apenas estatístico, Maxwell argumentou que a presença de um ente inteligente microscópico violaria essa lei. Esse minúsculo ser inteligente, mais tarde chamado "demônio", conseguiria observar o estado microscópico de um sistema físico e aproveitar a ocorrência de flutuações favoráveis para diminuir a entropia. Segundo Maxwell: "Se concebermos um ser cujas faculdades são tão aguçadas que ele consegue acompanhar cada molécula em seu curso, esse ser, cujos atributos são ainda essencialmente tão finitos quantos os nossos, seria capaz de fazer o que atualmente nos é impossível fazer. Vimos que as moléculas em um recipiente cheio de ar, a uma temperatura uniforme, movem-se com velocidades que não são de modo algum uniformes. Suponhamos agora que tal recipiente é separado em duas porções, A e B, por meio de uma divisória na qual há um pequeno orifício, e que um ser, que pode ver as moléculas individuais, abre e fecha este orifício, de forma a permitir que somente as moléculas mais rápidas passem de A para B, e somente as mais lentas passem de B para A. Ele irá portanto, sem nenhum trabalho, elevar a temperatura de B e baixar a de A, contradizendo a 2ª lei da termodinâmica".



Por que o "demônio de Maxwell" não viola a 2ª lei da termodinâmica?



Uma das mais famosas respostas a esta pergunta foi sugerida em 1929 por Leó Szilárd, e mais tarde por Léon Brillouin. Szilárd observou que o demônio de Maxwell, na vida real, precisaria ter algum meio de medir a velocidade molecular, e que o ato de aquisição de informações exigiria um gasto de energia. Uma vez que o demônio e o gás estão interagindo, devemos considerar a entropia total do gás e do demônio combinados. O dispêndio de energia pelo demônio irá causar um aumento na entropia do demônio, que será maior do que a redução da entropia do gás. A queda de entropia do gás seria compensada por um aumento de entropia na cabeça do demônio. Esmiuçando esta idéia, na década de 1950, Brillouin e Dennis Gabor argumentaram que a medição que o demônio faz da posição de uma molécula levaria a um aumento compensatório de entropia (a absorção de um fóton dissipa energia). Quando tudo parecia resolvido, Charles H. Bennett – que ficara famoso por ter mostrado que é possível fazer qualquer computação de maneira reversível – mostrou que é o apagamento de informação que dissipa energia no demônio, e não a mera realização de uma medição. Esta explicação é hoje hegemônica.




Referências

Nenhum comentário:

Postar um comentário

Observação: somente um membro deste blog pode postar um comentário.